山东省济南外国语学校2019-2020学年高一4月月考数学试题含解析

对于 基本事件总共有 其中点数之和是 ，，， C，6? 6 ? 36 种情况，6 的有（2，4）（1，5）（3，3）5

，，共 5 种情况，则所求概率是 ，故 （4，2）（5，1）C 正确；

36

A1 ， A2 ， A3 ，一件次品为 A1 A2 ， 对于 D，记三件正品为 B，任取两件产品的所有可能为

A1 A3 ，A1B ，A2 A3 ，A2 B ，A3 B ，共 A1 A2 ，A1 A3 ，A2 A3 ， 6 种，其中两件都是正品的有

3 1

共 3 种，则所求概率为 P ? ? ，故 D 正确.故选 BCD.

6 2

三、填空题（4 个小题，每题 5 分）

13．有一批产品,其中一等品 10 件,二等品 25 件,次品 5 件,现用分层随机抽样的方法从这 批产品中抽出 8 件进行质量分析,则抽取的一等品有 【答案】2

件.

【详解】 抽取的一等品的件数为

8

?10 ??2 .

10 ??25 ??5

14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜， 决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队 主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是 【答案】0.18 【详解】

．

前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以 4 :1获胜的概率是

0.63 ??0.5 ??0.5 ??2 ??0.108,

前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以 4 :1获胜的概率是

0.4 ??0.62 ??0.52 ??2 ??0.072,

q ??0.108 ??0.072 ??0.18. 综上所述，甲队以 4 :1获胜的概率是

【点睛】 由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二

是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以 4 :1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够 准确计算．

A1 ， A2 ， A3 ， B1 ， B2 ， C1 ， C2 表示，其 15．现有 7 名数理化成绩优秀者，分别用 A1 ， A2 ， A3 的数学成绩优秀， B1 ， B2 的物理成绩优秀， C1 ， C2 的化学成绩优秀. 中

试卷第 8页，总 15页

A1 从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则

B1 不全被选中的概率为 和

【答案】 【详解】

.

5 6

从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名， 所有可能的结果组成的 12 个样本点为 ??A1 , B1 , C1 ??，

??A1, B1, C2 ??， ??A1, B2 , C1 ??， ??A1, B2 , C2 ??， ??A2 , B1, C1 ??， ??A2 , B1, C2 ??， ??A2 , B2 , C1 ??， ??A2 , B2 ,C2 ?， ??A3 , B1,C1 ?， ??A3 , B1, C2 ??， ??A3 , B2 , C1 ??， ??A3 , B2 ,C2 ??.

B1 全被选中”有 “ A1 和 2 个样本点 ??A1 , B1 , C1 ??， ??A1, B1, C2 ??， 10 5

B1 不全被选中”为事件 “ A1 和 10 个样本点，概率为 ? . N 共有

12 6

5

故答案为: 6

.

【点睛】

本题考查古典概型的概率，列举样本点是解题的关键. 16．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当有两个 数字的和等于第三个数字时a, b, c ?，2，3，4称为“有缘数”（如 213，134 等），若 ?1??， 且 a，b，c 互不相同，则

这个三位数为”有缘数”的概率是 【答案】 【解析】

．

1 2

试题分析：由 1，2，3 组成的三位自然数为 123，132，213，231，312，321，共 6 个； 同理由 1，2，4 组成的三位自然数共 6 个； 由 1，3，4 组成的三位自然数也是 6 个； 由 2，3，4 组成的三位自然数也是 6 个． 所以共有 6＋6＋6＋6＝24 个． 由 1，2，3 组成的三位自然数，共 6 个”有缘数”． 由 1，3，4 组成的三位自然数，共 6 个”有缘数”．

所以三位数为”有缘数”的概率 P ???????????．

12 1

24 2

四、解答题（共计 70 分）

试卷第 9页，总 15页

17．（本小题 10 分）已知复数 z ? 1? mi （ ，且 i 是虚数单位， m ? R ）z ? (3 ? i) 为纯虚

z 的共轭复数）数（ ． z 是

m ??2i

z1 ??（1）设复数

1??i z

，求 z1 ；

i（2）设复数 z2 ? a ??

2017

a 的取值范围． z2 所对应的点在第一象限，求实数 ，且复数

【答案】（1） z ??1

26 2 ；（2） a ? 1

3

【详解】

∵ z ??1??mi ，∴ z ??(3 ??i) ??(1??mi)(3 ??i) ??(3 ??m) ??(1??3m)i . z ??1??mi .∴

?3 ??m ??0

，解得 m ???3 ．∴ z ??1 ??3i . ? 又∵ z ??(3 ??i) 为纯虚数，∴

?1??3m ??0 ?3 ??2i ????5 ??1 i ，∴ z ? 26 ； z1 ??（1）

1

1??i 2 2 2

a ??i (a ??3) ??(3a ?1)i

， （2）∵ z2 ? ??z ??1 ??3i ，∴

10 1??3i z2 所对应的点在第一象限， 又∵复数

?a ??3 ??0 1

∴ ?，解得： a ? ． ?

3 ?3a ?1 ??0

【点睛】

如果 z ??a ??bi (a, b ??R) 的点，则①当 a ??0 ， b ??0 时，点 Z 是复平面内表示复数 Z

a ??0 ， a ??0 ， b ??0 时，点 位于第一象限；当 b ??0 时，点 Z 位于第二象限；当 Z 位于 第三象限；当 b ??0 时，点 a ??0 ，b ??0 时，点 Z 位于第四象限;②当 Z 位于实轴上方的 b ??0 时，点 半平面内；当 Z 位于实轴下方的半平面内．

18．（本小题 12 分）在某次数学考试中，小江的成绩在 90 分以上的概率是 0.25，在

?80, 90??的概率是 0.48，在 ?70,80??的概率是 0.11，在 ?60, 70??的概率是 0.09，在 60 分 以下的概率是 0.07.计算：

（1）小江在此次数学考试中取得 80 分及以上的概率； （2）小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率. 【答案】（1） （2） 0.73 ；0.93 . 【详解】

试卷第 10页，总 15页

90??70?为事件 （1）分别记小江的成绩在 90 分以上，在?80, ，?70,80?，?60, B ， C ， D ， E ，这四个事件彼此互斥.

P ??B ??C ????P ??B ????P ?C ????0.25 ??0.48 ??0.73 . 小江的成绩在 80 分及以上的概率

（2）方法一：小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率

P ??B∪C∪D∪E ????P ??B????P ?C ????P ??D????P ??E ????0.25 ??0.48 ??0.11??0.09 ??0.93.

方法二：小江考试不及格（成绩在 60 分以下）的概率是 0.07，根据对立事件的概率公 式，得小江考试及格（成绩不低于 60 分）的概率是1??0.07 ??0.93.

19．（本小题 12 分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名 学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率 的统计表和频率分布直方图.

分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30] 合计 频数 10 24 m 2 M 频率 0.25 n p 0.05 1

(1)求出表中 M，p 及图中 a 的值；

(2)若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数；

(3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．

【答案】见解析

【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是 10，频率是 0.25，知

10

M

＝0.25，所以

M＝40.因为频数之和为 40，所以 10＋24＋m＋2＝40，解得 m＝4，p＝ m

M

?

4 40

＝0.10.

试卷第 11页，总 15页