高考一轮复习正态分布

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第7讲 正态分布

【20XX年高考会这样考】

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【复习指导】

掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ、σ的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率．

1．正态曲线及性质

(1)正态曲线的定义

函数φ?x－μ?2μ1

，σ(x)＝2πσ

e－2σ2，

基础梳理

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2．正态分布 x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的解析式

(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a

(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．

①P(μ－σ

两个特征数． ≤μ＋2σ)＝0.954 4； ②P(μ－2σ

2πσ

?x－μ?2

幂指数为－2σ2.

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六条性质 正态曲线的性质

?x－μ?1正态曲线φμ，σ(x)＝e－2σ2，x∈R有以下性质： 2πσ(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值1； σ2π2

(4)曲线与x轴围成的图形的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 三个邻域

会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．

双基自测

1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝

1

e－8π

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?x－10?2

8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是( )． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 ?x－10??x－μ?11

解析 由e－8＝e－2σ2，可知σ＝2，μ＝10.

8π2πσ答案 B

2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于( )．

A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析 由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2， 故P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C. 答案 C

3．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于( )．

A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5

1

解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝0.5－21

P(2≤X≤4)＝0.5－2×0.682 6＝0.158 7.故选B. 答案 B

4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于( )．

A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析 P(－2≤X≤2)＝1－2P(X>2)＝0.954. 答案 C

5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X

c＋1＋c－1解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是

2

2

2