重庆市南开中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

点评： 本题考查了分类讨论思想方法、不等式的性质、分段函数性质、集合运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程） 11．已知数列2，，，，…，则

是该数列中的第12项．

考点： 数列的函数特性．

专题： 点列、递归数列与数学归纳法．

分析： 根据条件求出数列的通项公式即可得到结论．

解答： 解：数列的等价条件为，，，，…， 则数列的通项公式为an=由an=

=

，

，

解得n=18， 即则

是该数列中的第18项，

故答案为：18

点评： 本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的概率求出数列的通项公式是解决本题的关键．

12．已知向量

满足：

，

，则向量与的夹角为120°．

考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用．

分析： 把已知式子平方代入数据可得向量夹角的余弦值，可得向量的夹角．

解答： 解：∵∴

=1，

，，

∴1+4+2×1×4×cosθ=1， 解得cosθ=

∴向量与的夹角θ=120°

故答案为：120°

点评： 本题考查平面向量的夹角，属基础题．

13．已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an﹣2，求an=3

n﹣1

+1．

考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 探究型；转化思想．

分析： 题目给出了数列的首项及递推式，求解通项公式时，首先把递推式变形，变为我们熟悉的等比数列，求出新数列的通项公式后再求原数列的通项． 解答： 解：由an+1=3an一2得：an+1﹣1=3（an﹣1）， ∵a1﹣1=2﹣1=1≠0，

∴数列{an﹣1}构成以1为首项，以3为公比的等比数列，

∴∴

n﹣1

，

．

故答案为3+1．

点评： 本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法，对于an+1=pan+q型的递推式，一般能够造成{an+x}型的等比数列，属常见题．

14．已知两个单位向量时，t=

．

的夹角为

，设向量

，其中t∈R，当

取最小值

考点： 数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用．

分析： 由题意可得解答： 解：由题意可得=

+2t

+

2

2

=（t+）+，由二次函数的最值可得．

2

2

=

+t

2

=1+2t×

2

=t+t+1=（t+）+， 由二次函数可知当t=﹣时，∴当

取最小值

时，t=

2

取最小值，

故答案为：

点评： 本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．

15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=

考点： 平面向量数量积的运算．

，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．

专题： 平面向量及应用．

分析： 以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．

解答： 解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系， 因为∠B=

，|

﹣

|=|

|=2，所以C（1，

），设A（x，0）

因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不

与D，E重合），所以1＜x＜4， 则

=x﹣x=（x﹣）﹣，所以

2

2

的范围为（0，12）．

故答案为：（0，12）．

点评： 本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．

三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）． （Ⅰ）求（Ⅱ）设向量

；

，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．

考点： 数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 专题： 平面向量及应用．

分析： （Ⅰ）由题意可得2﹣的坐标，由模长公式可得； （Ⅱ）可得向量的坐标，由与的夹角为钝角可得解答： 解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（1，﹣1）， ∴2﹣=（2，4）﹣（1，﹣1）=（1，5），

＜0，解不等式排除向量反向可得．

∴（Ⅱ）可得

==；

2

2

=（x+x，2x﹣x），

=（x+x）﹣（2x﹣x）＜0，

2

2

由与的夹角为钝角可得解方程可得0＜x＜，

若向量反向则x+x+2x﹣x=0，解得x=0， 此时向量为，不满足题意， ∴实数x的取值范围为（0，）．

点评： 本题考查平面向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．

17．已知等差数列{an}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，当n为何值时，Sn取得最大值？并求此最大值．

考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （Ⅰ）根据等差数列的通项公式建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）根据数列的通项公式，求出an=23﹣3n≥0得值，即可得到结论． 解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11． ∴（a4﹣d）（a4+d）=112， 即（11﹣d）（11+d）=112，

2

则121﹣d=112，

2

即d=9，d=﹣3， ∵a4=a1+3d=11， ∴a1=20，

则数列{an}的通项公式an=20﹣3（n﹣1）=23﹣3n； （Ⅱ）∵an=23﹣3n，

22

∴由an=23﹣3n≥0得n≤即当1≤n≤7时，an＞0， 当n≥8时，an＜0，

；

∴当n=7时，Sn取得最大值，求此最大值S7=

=77．

点评： 本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的性质，根据方程组求出首项和公差是解决本题的关键．

18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0． （Ⅰ）求xy的最小值；