（中考合集）江苏盐城市中考数学压轴题专项汇编共30个专题汇总word文档可编辑共187页

专题1 一元二次方程的特殊根 破解策略 1．一元二

次方程的有理根 22xaxbxc＝a≠ab，cbac关于的一元二次方程

＋＋0（0，，为有理数）存在有理根的条件为：－4 是一个有理数的平方． 2axbxca≠ab，c解决一元二次方程＋＋＝0（0，，为有理数）的有理根问题时，一般的解题策略有： （1）利用“判别式的取值范围”解题 a≠①讨论二次项系数的情况，当0时，求出判别式； ②根据已知条件得待定系数的取值范围，再求出判别式的取值范围，筛选出其中为有理数的平方的数； ③求出待定系数的可能取值，并检验． （2）利用“判别式是一个有理数的平方”解题 a≠①讨论二次项系数的情况，当0时，将方程的系数整数化，求出判别式； 222△M－tMtMtmm②将判别式写成＝的形式（为关于待定系数的整式，为整数），设－＝（为非负有理数） ＭmＭｍt③可得（＋）（－）＝，解此不定方程； ④求出待定系数的可能取值，并检验． ２．一元二次方程的整

数根 2axbxc＝a≠ab，c对于一元二次方程＋＋0（0，，为有

理数）而言，方程的根为整数且必为有理数，所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件． 2axbxc＝解决方程＋＋0的整数根问题，除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理 数的平方”来解题外，还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题． （1）利用“根与系数的关系”解题 a≠①讨论二次项系数的情况，当0时，利用

根与系数的关系求出两根的和与积； ②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式（类似于分离常量）； ③由分式的结果一定为整数，根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定 系数的可能取值； （2）利用“因式分解”解题 a≠mxnmxn①讨论二次项系数的情况，当0时，将方程化为（＋）（＋）＝0的形式； 1122nn12xx??②求出方程的两根，＝和＝； 12

mm12nn12??③利用分离常量的方法，将，变成一个常数

与一个分式的和； mm12④根据整除的性质，得到分式的分母一定是分子的约数，从而求出待定系数的可能取值； ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果． 需要注意的是，要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数． 3．分离常量 在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量，所谓分离常量就是从分式中化出一个常数，例如：

m?2m?1?3m?① 133m?1m?1m?1m?1m? 1

?m?2?m?1?1?(m?② 1)11

； ???? 1?

；

????? 1?

m?1m?1m?1m?1m?12m?32m?2?12(m?③ ；1)11 ???? 2?m?1m?1m?1m?1m?1?3m?1?3m?3?2?④3(m? ． ?1)22????3? m?1m?1m?1m?1m?例题讲解：1 2m＜m＜xmxm－xm－例1 已知整数满足620，如果关于的一元二次方程—（21）＋2

＝0有有理m根，求的值及方程的根． 解： 若原方程的根为有理数， ２m－mm－m则△＝（21）—4（2）＝4＋1应为某个有理数的平方． ＜m＜＜m＜已知620，所以254＋181， mm而4＋1是奇数，从而4＋1＝49， m得＝12， 2xx所以原方程变为12—23＋10＝0， 25xx解得＝，＝． 12 3425xmx，＝． 故＝12时，方程有有理根，此时方程的根为＝21 342mxmx－m－xm例2 设是不为零的整数，关于的一元二次方程（1）＋1＝0有有理根，求的值． 解 若原方程的根为有理数， ２２m－mm－则△＝（1）—4＝（3）—8应为某个有理数的平方． ２2 m－nn＞n令（3）—8＝ （0），显然也为整数， m－nm－－n所以（3＋）（3）＝8． m－

nm－－nm－nm－－nm－由于3＋＞3，并且（3＋）＋（3）＝2

（3）是偶数， m－nm－－n所以3＋和3同奇偶， m?6m?0m-3?n?4m?3?n??2???所?以21

或 ；解得，

（舍）． ????-3?mn?2m?3?n??4n?1n?1????所以当＝6时，方程有两个有理根，分别为＝，＝． 12 23

2xrxrxr－r例3 关于的一元二次方程＋（＋2）＋1＝0有且只整数

根，求整数的值． r解： 当＝0时，原方程无整数根； r 当≠0时，由根与系数的关系可得

r?22r?11xxxx＝－1－，?＝＝1

－． ＋＝?1212 rrrrxx因为，都是整数， 1221xxxx所以＋和?均为整数，从而，均为整数． 1212 rrrr而为整数，所以＝±1． 2

r当＝－1时，原方程的解不为整数，不符合条件； rxx当＝1时，原方程的解为＝0，＝－3． 12 r综上可得，整数＝1． 例4 在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，若二次2222y＝k－kxkkxkkkx函数（3＋2）＋（2－4＋1）＋－（为常数）的图象与轴相交得到两个不同的“中x国结”，试问：该函数的图象与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？ 2222yk－kxkkxkk解：令＝0，即（3＋2）＋

1211mxx（2－4＋1）＋－＝0， kxkkxk因式分解，得[（－1）＋][（－2）＋－1]＝0 k1k?11xx解得＝，＝， ????1??? k1??1k?12?1k2k?211xx，也均为整数， 由题意可得，均为整数，所以12 k?1k?211m（m，mk设＝≠0为整数），则＝＋1，

k?1m11m?(1?m)?，11 所以????? 1? 1k?21?m1?m1?m? 1?2

mmmm所以1－＝±1，即＝0（舍），＝2， 12 3k＝从而得到． 2113122xx＝xy－＋（＋1）＋1 所以二次函数表达式为＝?? 4244x二次函数图象如下图所示，则该函数的图象与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含6个“中国结”，分别为：（－3，0），（－2，0），（－1，0），（－1，1），（0，0），（1，0）． 进阶训练 2２mkxxmxxm－mk1．已知为有理数，问：为何值时，关于的方程－4＋4＋32＋4＝0的根为有理数？ 5

k＝－解： 4２mm－

k【提示】若原方程的根为有理数，则△＝4[—6＋4（1）]应为某个有理数的平方． 5－kk． 所以4（1）＝

9，即＝－ 42２xxm－xm－mm2．已知关于的方程－2（23）＋414＋8＝0（＞0）有两个不相等的实数根，若12mm

＜＜40，且方程的两个根均为整数，求整数的值．

m＝ 解：24．m＜m＜【提示】若原方程的根为有理数，则

以

△＝（＋）应为某个有理数的平方，由

4211240，所＜m＜mmm252＋181，而2＋1

为

奇数，则

2＋1＝49，即＝24．

２2kxk－xk3．已知方程（－1）－3（31）＋18＝0有正整数根，求

整数的值． k 解：＝0，1，2，4，5．2kk【提示】先讨论二次项系数是否为0，当＝1时，方程有正整数根，当－1＝0时，原方程可整 63kxkxxxk理为[（＋1）－6][（－1）－3]＝0，解得＝，＝，而方程有正整数根，所以＝0，12 k?1k?k11，2，4，5，综上，＝0，1，2，4，5． 222xaxaxa－a4．求使关于的方程（＋1）－（＋1）＋26＝0的根均为整数的所有整数． a 解：＝－3，－2，0，1．ax－x＝－a －【提示】①当＝－1时，方程变为－24＝0，解得2，符合要求；②当≠1时，设22a?12a?62xxxxaxx方程的两个整数根为，，则由根与系数的关系可得＋＝＝－1＋，?＝121212

a?1a?1a?a＝142（－1）－． a?12axxxxxx为整数，所以＝－3，

－2，0，1． 因为，都是整数，所以＋和?均为整数，即

121212

a?1a经检验，得到当＝－3，－2，0，1时，方程的根均为整