实验一 采样率对信号频谱的影响

1

实验一 采样率对信号频谱的影响

1．实验目的 （1）理解采样定理；

（2）掌握采样频率确定方法； （3）理解频谱的概念；

（4）理解三种频率之间的关系。 2．实验原理

理想采样过程是连续信号xa(t)与冲激函数串M(t)的乘积的过程

?M(t)???(t?kTk???s) (7-13)

?a(t)?xa(t)M(t) (7-14) x式中Ts为采样间隔。因此，理想采样过程可以看作是脉冲调制过程，调制信号是连续信号xa(t)，载波信号是冲激函数串M(t)。显然

??a?a(t)?x?xk???(t)?(t?kTs)??xk???a(kTs)?(t?kTs) (7-15)

?a(kTs)。 ?a(t)实际上是xa(t)在离散时间kTs上的取值的集合，即x所以，x对信号采样我们最关心的问题是，信号经过采样后是否会丢失信息，或者说能否不失真

?(j?)和原来模拟地恢复原来的模拟信号。下面从频域出发，根据理想采样信号的频谱Xa信号的频谱X(j?)之间的关系，来讨论采样不失真的条件

?(j?)?1XaTs??k???X(j??kj?s) (7-16)

上式表明，一个连续信号经过理想采样后，其频谱将以采样频率Ωs＝2π／Ts为间隔周期延拓，其频谱的幅度与原模拟信号频谱的幅度相差一个常数因子1／Ts。只要各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则可以完全恢复原来的模拟信号。根据式(7-16)可知，要保证各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则必须满足Ωs≥2Ω。这就是奈奎斯特采样定理：要想连续信号采样后能够不失真地还原原信号，采样频率必须大于或等于被采样信号最高频率的两倍

?s?2?h，或者fs?2fh，或者Ts?Th2 (7-17)

即对于最高频率的信号一个周期内至少要采样两点，式中Ωh、fs、Th分别为被采样模拟信号的最高角频率、频率和最小周期。

在对正弦信号采样时，采样频率要大于这一最低的采样频率，或小于这一最大的采样间

2

隔才能不失真地恢复信号。对正弦信号采样时，一般要求在一个周期至少采样3个点，即采样频率fs?3fh。

3．实验内容

（1）采样率的确定

在本实验中要用到正弦信号、余弦信号和矩形波： 正弦信号：sin(20πt)； 余弦信号：cos(20πt)；

矩形波：频率为50Hz、占空比为1的矩形波 （2）计算采样后所得序列的频谱

① 正弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱； ② 余弦信号在采样率为15Hz、20Hz和50Hz时采样所得序列的频谱； ③ 矩形波在采样率为100Hz、400Hz和800Hz时采样所得序列的频谱； （3）分析不同信号在不同采样率下频谱的特点 4．实验步骤

（1）复习并理解时域采样定理；

（2）编写Matlab程序计算不同采样率下信号的频谱； （3）调试程序，排除程序中的错误；

（4）分析程序运行结果，检验是否与理论一致。 5．实验报告要求

（1）阐明实验的目的、原理和内容；

（2）打印主要程序并粘贴在实验报告中； （3）打印实验结果并粘贴在实验报告中； （4）针对实验结果加以分析和总结。 6．思考题

（1）对相同频率的正弦和余弦信号，均采用信号频率2倍的采样率采样时所得序列的频谱有何不同？为什么？

（2）50Hz的矩形波的采样率为何不能为100Hz？

（3）对矩形波，要完全不失真采样率应为多少？一般采样率为信号频率的多少倍时就可近似认为没有失真？

例3-5-1 试求信号x(t)＝sin(100πt)用采样率为80Hz、100Hz、101Hz、150Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz。

解：频率分辨率为0.5Hz，则频域采样点数分别为160、200、202和300。程序如下：

deltf=0.5;%频率分辨率

Fs1=80;Fs2=100;Fs3=101;Fs4=150;%采样率

N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;%采样点数 n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;%采样点 x1=sin(100*pi*n1/Fs1);x2=sin(100*pi*n2/Fs2);%采样

3

x3=sin(100*pi*n3/Fs3);x4=sin(100*pi*n4/Fs4);%采样 y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);%快速傅里叶变换 y1=y1.*conj(y1)/N1^2;y2=y2.*conj(y2)/N2^2;%计算功率 y3=y3.*conj(y3)/N3^2;y4=y4.*conj(y4)/N4^2;%计算功率 subplot(2,2,1);plot((0:49)/Fs1,x1(1:50)); xlabel('时间/s');ylabel('幅度');

axis([0 0.6 -1 1.5]);text(0.02,1.2,'采样率为80Hz的时域波形'); subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(功率)');text(10,0.32,'采样率为80Hz的频谱'); %下面显示波形的程序省略

程序运行结果如图3-15所示，信号实际频率为50Hz，现分析如下：

① 在采样率为80Hz时，频谱中有两个冲激，分别对应30Hz和50Hz，50Hz的冲激与理论一致，30Hz的冲激为采样率(80Hz)与信号实际频率(50Hz)之差，即30Hz冲激其实是下一周期负频率对应的冲激，表明频谱前后周期之间出现了重叠，即混叠；

② 采样率为100Hz时，时域波形和频谱幅度均极小，近似为0，时域波形杂乱无章，频谱也无规律可言，原因在于，采样率刚好为频率的2倍，所以采样点刚好落在了幅值为0处，故几乎无信号；

③ 采样率为101Hz时，时域波形幅度由0逐渐递增直至达到1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应51Hz(两个冲激距离很近)，从时域来看出现了失真，从频域来看，基本没有混叠；

④ 采样率为150Hz时，时域波形与理论波形变化规律一致，但幅度没达到最大理论值1，频谱中有两个冲激，一个对应50Hz，一个对应100Hz，两者关于中心点N/2对称，根据前面的分析可知，100Hz的冲激其实对应于下一周期的负频率的冲激，由于数字频率一般取－π～π(对应于－N/2～N/2)，故100Hz的冲激没有影响。

因此，对于正弦信号，采样率低于2fh时将出现频谱混叠。

图3-15 x(t)＝sin(100πt)不同采样率的时域波形和频谱

例3-5-2 试求频率为50Hz的矩形波用采样率为400Hz、500Hz、600Hz、1000Hz时采样所得序列的频谱，要求频率分辨率为0.5Hz。

解：矩形波是由基频的奇次谐波构成，最高频率为∞，因此无论如何都将产生频谱的混叠。但是随着频率的升高，其幅度衰减很快，因此，只要采样频率达到一定程度，就认为没有失真。在实际处理一些波形时也常采用这一近似。

deltf=0.5;%频率分辨率

Fs1=400;Fs2=500;Fs3=600;Fs4=1000;%采样率

N1=Fs1/deltf;N2=Fs2/deltf;N3=Fs3/deltf;N4=Fs4/deltf;%采样点数

4

n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;n3=0:N3-1;n4=0:N4-1;%采样点 x1=square(100*pi*n1/Fs1);x2=square(100*pi*n2/Fs2);%采样 x3=square(100*pi*n3/Fs3);x4=square(100*pi*n4/Fs4);%采样 y1=fft(x1);y2=fft(x2);y3=fft(x3);y4=fft(x4);%快速傅里叶变换 y1=abs(y1);y2=abs(y2);%计算绝对值 y3=abs(y3);y4=abs(y4);%计算绝对值 figure(1)

subplot(2,2,1);stem((0:399)/Fs1,x1(1:400)); xlabel('时间/s');ylabel('幅度');

axis([0 0.1 -1.5 1.5]);text(0,1.25,'采样率为400Hz的时域波形');

subplot(2,2,2);plot(n1*Fs1/N1,y1);

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,550,'采样率为400Hz的频谱'); subplot(2,2,3);stem((0:499)/Fs2,x2(1:500)); xlabel('时间/s');ylabel('幅度');

axis([0 0.1 -1.5 1.5]);text(0,1.25,'采样率为500Hz的时域波形');

subplot(2,2,4);plot(n2*Fs2/N2,y2);

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,750,'采样率为500Hz的频谱'); figure(2)

subplot(2,2,1);stem((0:599)/Fs3,x3(1:600)); xlabel('时间/s');ylabel('幅度');

axis([0 0.08 -1.5 1.5]);text(0,1.25,'采样率为600Hz的时域波形');

subplot(2,2,2);plot(n3*Fs3/N3,y3);

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(8,750,'采样率为600Hz的频谱'); subplot(2,2,3);stem((0:999)/Fs4,x4(1:1000)); xlabel('时间/s');ylabel('幅度');

axis([0 0.06 -1.5 1.5]);

text(0.02,1.2,'采样率为1000Hz的时域波形');

subplot(2,2,4);plot(n4*Fs4/N4,y4);

xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度(绝对值)');text(10,1300,'采样率为1000Hz的频谱');

现分析如下：

① 在采样频率为400Hz时，频谱图中出现了比较明显的4个冲激，频率分别对应于50Hz、150Hz、250Hz和350Hz。50Hz为基频，150Hz为3次谐波，250Hz和350Hz对应于下一周期的3次谐波和基频的负频率。显然没有5次谐波及以上的冲激，因为5次谐波频率为250Hz，采样率400Hz小于其2倍，出现了混叠失真；

② 在采样率为500Hz时，频谱与采样率为400Hz时类似，3次谐波的冲激更加明显，采样率刚好为5次谐波的2倍，但还是没有5次谐波的冲激；

③ 在采样率为600Hz时，与采样率为500Hz时类似，但是在250Hz处出现了冲激(相对幅度较小)，对应于5次谐波；

④ 在采样率为1000Hz时，基频、3次谐波、5次谐波和7次谐波(350Hz)的冲激均很明显，9次谐波(450Hz)并不明显，说明矩形波在7次谐波以上的谐波可以忽略不计了。

5

图3-16 矩形波在不同采样率的时域波形和频谱

在实际中有一些典型的采样率，数字电话中的采样率为8KHz，高保真语音采样率为44.1KHz，一般在对语音进行处理时，22.05KHz的采样率和11.025KHz的采样率也经常用到。

deltf=0.5;%频率分辨率 Fs1=15;

Fs2=20; Fs3=50; %采样率 N2=Fs2/deltf; n2=0:N2-1;

N3=Fs3/deltf; %采样点数 n3=0:N3-1; %采样点

N1=Fs1/deltf; n1=0:N1-1;

x1=sin(20*pi*n1/Fs1); x2=sin(20*pi*n2/Fs2); %采样 x3=sin(20*pi*n3/Fs3); %采样 y1= fft (x1);

y2=fft(x2);

y3=fft(x3); %快速傅里叶变换

y1=y1.*conj(y1)/N1^2; y2=y2.*conj(y2)/N2^2;

y3=y3.*conj(y3)/N3^2; %计算功率 subplot(2,2,1);

plot((0:49)/Fs1,x1(1:50));

xlabel('时间/s'); ylabel('幅度');

axis([0 0.6 -1 1.5]); text(0.02,1.2,'采样率为15Hz的时域波形'); subplot (2,2,2); plot (n1*Fs1/N1,y1); xlabel('频率/Hz'); subplot(2,2,3);

plot((0:49)/Fs2,x2(1:50)); xlabel('时间/s');ylabel('幅度'); axis([0

0.6 -1

1.5]);

text(0.02,1.2,'采样率为20Hz的时域波形');

subplot(2,2,4); plot(n1*Fs2/N2,y2);

xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅度(功率)'); text(10,0.32,'采样率为20Hz的频谱')

ylabel('幅度(功率)'); text(10,0.32,'采样率为15Hz的频谱');