(优辅资源)湖南省衡阳高三上学期第四次月考试题 数学(文) Word版含答案

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因为a1?1也适合上式，因此，数列?an?的通项公式为an?n?1 2n?111n?1an（2）由（1）知，an?，故bn?(n?1)4? ?(n?1)42?24anan?1(n?1)(n?2)记数列?bn?的前项和为Tn，则Tn?2?22?3?23?记A?2?2?3?2?23?1111?(n?1)2n?1??[(?)??(?)] 23n?1n?211?(n?1)2n?1,B?(?)?23?(11?)，则A?n2n?2，n?1n?2B?11nnn?2??故数列?bn?的前项和为Tn?n2? 2n?22(n?2)2(n?2)12x，g(x)?alnx(a?0). 222．（本小题满分12分）已知f(x)?（1）求函数F(x)?f(x)g(x)的极值；

（2）若函数G(x)?f(x)?g(x)?(a?1)x在区间(,e)内有两个零点，求的取值范围； （3）求证：当x?0时，lnx?1e31??0. 4x2ex【答案】（1）F(x)?f(x)g(x)?12axlnx(x?0) 21?11''∴F(x)?axlnx?ax?ax(lnx?)由F(x)?0得x?e2，由F(x)?0，得

22'0?x?e∴F(x)在(0,e]上单调递减，在[e,??)上单调递增，

∴F(x)min?F(e)???12?12?12?12a，F(x)无极大值. 4e（2）G(x)?又a?0,12a(x?a)(x?1)x?alnx?(a?1)x∴G'(x)?x??a?1? 2xx11?x?e，易得G(x)在(,1]上单调递减，在[1,e)上单调递增，

ee1要使函数G(x)在(,e)内有两个零点，

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2e?1??1a?1a???a?0?1??2e22e2?2ee?G(e)?0???11??需?G(1)?0，即??a?1?0，∴?a?，

2?G(e)?0??2???e22e?e2??a???(a?1)e?a?02e?2??2∴

2e?112e?11，即的取值范围是?a?(,).

2e2?2e22e2?2e22x2312（3）问题等价于xlnx?x?由（1）知F(x)?xlnx的最小值为?

e42ex23x(x?2)令R(x)?x?（x?0）∴R'(x)?? xe4e易知R(x)在(0,2]上单调递增，[2,??)上单调递减∴R(x)max?R(2)?43? 2e4又?143314(3e?8)(e?2)?(2?)???2??0 2ee442ee4e2x2331?R(x)max，xlnx?x?故当x?0时，lnx?2?x?0成立.

e44xe2∴F(x)min

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