电磁学

1520(25). 图示两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带电，电荷分别为＋Q和－Q，两球心相距为d (d>>2R)．求两球心间的电势差．

+QRO1d-QO2R解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势．球面外

的电势相当于电荷集中在球心上的点电荷的电势．由此，按电势叠加原理

QQ球心O1处的电势为： U1? 2分 ?4??0R4??0dQQ球心O2处的电势为： U2? 2分 ?4??0d4??0R

则O1、O2间的电势差为： U12?Q2??0?11?Q?d?R? 1分 ?????Rd?2??0Rd

1072(30). 在真空中一长为l＝10 cm的细杆上均匀分布着电 q0? ??-荷，其电荷线密度?＝ 1.03105 C/m．在杆的延长线上，距

- d l 杆的一端距离d＝10 cm的一点上，有一点电荷q0＝ 2.03105

C，如图所示．试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量?0＝8.85310-12 C22N-12m-2 )

解：选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向 ．在x处取一电荷元?dx，它在点电荷所在处产生场强为：

dE??dx4??0?d?x?l 2 3分

d q0 l ?dx x 整个杆上电荷在该点的场强为：

E??4??0 dx?l ??0?d?x?24??0d?d?l?2分

O x d+ x 点电荷q0所受的电场力为：

F?q0?l＝0.90 N 沿x轴负向 3分

4??0d?d?l?

1074(60). 两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度为?， ? ?沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l，如图所示．假

l l l 设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用

力． 解：选左棒的左端为坐标原点O，x轴沿棒方向向右， ?dx l 2l ?dx? 3l O 在左棒上x处取线元dx，其电荷为dq＝?dx，它在右 x x 棒的x?处产生的场强为： x ? dE?整个左棒在x?处产生的场强为：

?dx4??0?x??x?2 3分

E??l?dx4??0?x??x?20???11???? 2分

4??0?x??lx??右棒x?处的电荷元?dx?在电场中受力为：

?2?11? dF?E?dx????dx? 3分 ?4??0?x??lx??整个右棒在电场中受力为：

?24?2??11?? F?，方向沿x轴正向． 2分 ?ln?dx???4??034??0?2l?x??lx??左棒受力 F???F 2分

3l

1309(20).两“无限长”同轴均匀带电圆柱面，外圆柱面单位长度带正电荷?，内圆柱面单位长度带等量负电荷．两圆柱面间为真空，其中有一质量为m并带正电荷q的质点在垂直于轴线的平面内绕轴作圆周运动，试求此质点的速率．

解：应用高斯定理，得两柱面间场强大小为 E = ? / (2??0 r) 2分

其方向沿半径指向轴线．设质点作圆周运动的轨道半径为r，则带电粒子所受静

电力为 Fe＝qE＝(q?) / (2??0 r) 1分

此力作为向心力，按牛顿第二定律 q? / (2??0 r) = mv2 / r

解出

v?q? 2分

2??0m

1368(35).电荷为＋q和－2q的两个点电荷分别置于x＝1 m和x＝－1 m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？

解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零．

q?2q??0 2分 224??0?x?1?4??0?x?1?得 x2－6x+1=0, x?3?22 m

因x?3?2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得

x?3?22 m 3分

1651(25). 如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷．

ra (2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． QqOb (3) 球心O点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电

荷q+Q．

2分

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的 距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为

U?q??????dq4??0a??q 2分

4??0a (3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点

产生的电势的代数和 2分 UO?Uq?U?q?UQ?q

?qqQ?qq111Q ? 2分 ??(??)?4??0r4??0a4??0b4??0rab4??0b

1349(50).两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？

解：因两球间距离比两球的半径大得多，这两个带电球可视为点电荷．设两球各带电荷Q，若选无穷远处为电势零点，则两带电球之间的电势能为

W0?Q2/(4??0d)

式中d为两球心间距离． 2分

当两球接触时，电荷将在两球间重新分配．因两球半径之比为1∶4．故两球电荷之比Q1∶Q2 = 1∶4．

Q2 = 4 Q1 2分

但 Q1?Q2?Q1?4Q1?5Q1?2Q

∴Q1?2Q/5，Q2?4?2Q/5?8Q/5 2分 当返回原处时,电势能为 W?Q1Q216?W0 2分

4??0d25 40 cm a 30 cm c z b y 30 cm e ?

-2551(30).已知均匀磁场，其磁感强度B = 2.0 Wb2m2，方向沿x轴正向，如图所示．试求： (1) 通过图中abOc面的磁通量； (2) 通过图中bedO面的磁通量； (3) 通过图中acde面的磁通量．

50 cm B O d x

?? 30 cm 解：匀强磁场B对平面S的磁通量为： O d x

???40 cm B ??? ??B?S?BScos? ?? n 设各面向外的法线方向为正

(1) ?abOc?BSabOccos???0.24 Wb 2分 (3) ?acde?BSacdecos??0.24 Wb 2分

2029(30). 如图所示，一无限长直导线通有电流I =10 A，在一处折成夹角??＝60°的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r =0.1 cm的P点

--处的磁感强度．(?0 =4?3107 H2m1)

c z

(2) ?bedO?BSbedOcos(?/2)?0 1分

??? 解：P处的B可以看作是两载流直导线所产生的，B1与B2的方向相同．

B?B1?B2

?I?I ?0[sin60??sin(?90?)]?0[sin90??sin(?60?)] 3分

4?r4?r?I- ?20(sin90??sin60?)?3.733103 T 1分 4?r方向垂直纸面向上． 1分

2232(25).设氢原子基态的电子轨道半径为a0，求由于电子的轨道运动(如图) 在原子核处(圆心处)产生的磁感强度的大小和方向．

解：①电子绕原子核运动的向心力是库仑力提供的． rP?ra0 v

1e2v2e即∶ ，由此得 ?mv?24??0a0a02?m?0a02分

②电子单位时间绕原子核的周数即频率

??ve?2?a04?a01?m?0a0

2分

由于电子的运动所形成的圆电流

e2 i??e?4?a01?m?0a0?因为电子带负电，电流i的流向与 v方向相反 2分

③i在圆心处产生的磁感强度 B??0i2a0??0e228?a01?m?0a0 其方向垂直纸面向外 2分

2251(10). 有一条载有电流I的导线弯成如图示abcda形状．其中ab、cd是直线段，其余为圆弧．两段圆弧的长度和半径分别为l1、R1和l2、R2，且两段圆弧共面共心．求圆心O处的磁感

I a b l2 l1 R1 O c R2 d ?强度B的大小．

解：两段圆弧在O处产生的磁感强度为

B1??0Il14?R12， B2??0Il224?R2 4分

两段直导线在O点产生的磁感强度为

B3?B4??0I4?R1cosl12R1 B?B1?B3?B4?B2 1分

?0I?Illll[?sin1?sin2]?0(12?22) ?l2R12R24?R1R22?R1cos12R1方向?． 1分

2439(25). 如图所示，半径为R，线电荷密度为? (>0)的均匀带电的圆线圈， [?sinl1l?sin2] 4分 2R12R2?绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度??转动，求轴线上任一点的B的大小

及其方向．

解： I?R?? 1分

B?By?y O R ??

?0R3??223/22(R?y)?B的方向与y轴正向一致． 1分

3分