2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷(文科)

假设k存在，设AB方程为：y=kx+，代入椭圆方程，可得根与系数的关系，

由∠BAD=90°，可得|AF|-|BF|=（y2+）-（y1+）=2p，再利用焦点弦长公式即可求得p的值．

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 11.【答案】D

【解析】

解：根据小车从点A出发的运动轨迹可得，视角θ=∠AOP的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大， 故选：D．

题干错误：θ=∠AOP（＞0），应该去掉括号．

根据视角θ=∠AOP的值的变化趋势，可得函数图象的单调性特征，从而选出符合条件的选项．

本题主要考查利用函数的单调性判断函数的图象特征，属于基础题． 12.【答案】B

【解析】

解：由题意可知，f（n）＞0，f（n+1）＞0， 由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ， 当f（n）=f（n+1）时，

22

有n+pn+q=（n+1）+p（n+1）+q，

即-p=2n+1，

所以α+β=-p=2n+1， 所以n=

，

222

因为f（n）=n+pn+q=n-（2n+1）n+q=-n-n+q=-n（n+1）+q=-（α+β-1）（α+β+1）

+αβ=，

则min{f（n），f（n+1）}的值一定小于， 故选：B．

由根与系数的关系可得：-p=α+β，q=αβ，由“取小函数”的特征得：当f（n）=f

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（n+1）时，有n+pn+q=（n+1）+p（n+1）+q，即-p=2n+1，所以α+β=-p=2n+1，所

以n=

222

，因为f（n）=n+pn+q=n-（2n+1）n+q=-n-n+q=-n（n+1）+q=-

（α+β-1）（α+β+1）+αβ=，得解

，所以min{f（n），f（n+1）}的值一定小于

本题考查了方程根与系数的关系及对取小函数的理解，属中档题 13.【答案】-+

【解析】

解：由图可知：

=

=，②

=-．

=，①

联立①②解得：故答案为：-

=-，

由平面向量的线性运算得：②联立①②解得：

=-

=

=-

=，①，得解．

=，

本题考查了平面向量的线性运算，属简单题． 14.【答案】1+

【解析】

22

解：由题意可知：z=2x+y与x+（y-1）=1相切时，切点在上方时取得最大值，

如图：

可得：≤1，解得1-≤z≤1+，

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z=2x+y的最大值为：1+故答案为：1+

．

．

平移直线z=2x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．

本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力． 15.【答案】

【解析】

解：设两圆的公切线为y=7x+t，即7x-y+t=0， 已知圆心C1（2，2），C2（-1，-1）， 设C1，C2到公切线的距离为d1，d2， 可得d1=r1=

，d2=r2=

，

由于公切线在两圆的同侧， r1+r2=

-=

=|C1C2|=3

，

即|t+3|=15，可得t=12或-18， 当t=12时，r1r2=当t=-18时，r1r2=综上可得r1r2=故答案为：

．

．

=．

；

设两圆的公切线为y=7x+t，求得两圆的圆心，由直线和圆相切的条件：d=r，两圆相切的条件，可得t=12或-18，计算可得所求值．

本题考查直线和圆的位置关系，主要是相切的条件：d=r，考查化简运算能力，属于中档题． 16.【答案】a2+b2＜c2

【解析】

解：∵2sinAsinB＜-cos（2B+C）， ∴cos（2B+C）+2sinAsinB＜0可得， ∴cos（B+B+C）+2sinAsinB＜0．

∴cosBcos（B+C）-sinBsin（B+C）+2sinAsinB＜0，

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即 cosBcos（π-A）-sinBsin（π-A）+2sinAsinB＜0． ∴-cosBcosA-sinBsinA+2sinAsinB＜0， ∴-cosBcosA+sinBsinA＜0． 即-cos（A+B）＜0， ∴cos（A+B）＞0． ∴A+B＜

，

∴C＞，故△ABC形状一定是钝角三角形，

222

故有a+b＜c． 222

故答案为：a+b＜c．

由条件利用诱导公式以及两角和与差的余弦函数公式求得cos（A+B）＞0，可得A+B＜

，C＞

222

，故△ABC形状一定是钝角三角形，从而得到a+b＜c，

由此得出结论．

此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．

17.【答案】解：（Ⅰ）正项数列{an}的前n项和

所以：2Sn=an（an+1）， 当n=1时， 解得：a1=1，

当n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=

，

的等比中项，

整理得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，

由于an＞0，

所以：an-an-1=1（常数），

故：数列{an}是以a1=1为首项，1为公差的等差数列． 所以：an=1+（n-1）=n． 证明：（Ⅱ）由于an=n， 所以：故：=【解析】

．

=

=

， ，

（Ⅰ）利用递推关系式求出数列的通项公式．

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．

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