2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷(文科)

恰好在AD上（图2）．

（Ⅰ）证明：PD⊥平面PAB； （Ⅱ）若点E在线段PB上，且Q-EBC的体积． 20. 已知椭圆

椭圆上存在一点M，满足

的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0）且

．

，当点Q在线段AD上运动时，求三棱锥

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

B分别是椭圆C的左、Q两点，（Ⅱ）已知A，右顶点，过F2的直线交椭圆C于P，

记直线AP，BQ的交点为T，是否存在一条定直线l，使点T恒在直线l上？ 21. 设函数

（Ⅰ）求函数f（x）的极值点个数； （Ⅱ）若

．

．

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22. 曲线C1的参数方程为

，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相

同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2acosθ（a＞0）关于C1对称． （Ⅰ）求C1极坐标方程，C2直角坐标方程； （Ⅱ）将C2向左平移4个单位长度，按照

变换得到C3；C3与两坐标轴交

于A、B两点，P为C3上任一点，求△ABP的面积的最大值．

23. 已知f（x）=|x|+|2x-1|．

（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞4；

（Ⅱ）对任意正数a、b，求使得不等式M．

恒成立的x的取值集合

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：∵复数z=a-2+（a+1）i是纯虚数， ∴∴∴复数故选：D．

由已知求得a，代入

，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

=

，则a=2．

，

在复面上对应的点的坐标为（

）．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】B

【解析】

2

解：解一元二次不等式x-3x-4＞0得：x＜-1或x＞4，即A=（-∞，-1）∪（4，+∞）， 22

解一元二次不等式x-3mx+2m＜0（m＞0）得m＜x＜2m，即B=（m，2m），

又B?A， 所以解得m≥4， 故选：B．

由二次不等式的解法得：A=（-∞，-1）∪（4，+∞），B=（m，2m）， 由集合的包含关系得：

或

，计算可得解

或

，

本题考查了集合的包含关系及二次不等式的解法，属简单题 3.【答案】C

【解析】

解：在所有小于150的三位回文数有3位“回文数”有5个： 101，111，121，131，141，

在所有小于150的三位回文数中任取两个数， 基本事件总数n=

=10，

=3，

两个回文数的三位数字之和均大于3包含的基本事件个数m=则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为p=故选：C．

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=．

在所有小于150的三位回文数有3位“回文数”有5个：101，111，121，131，141，在所有小于150的三位回文数中任取两个数，基本事件总数n=回文数的三位数字之和均大于3包含的基本事件个数m=两个回文数的三位数字之和均大于3的概率．

本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】A

【解析】

=10，两个

=3，由此能求出

解：由|OM|=|OF2|=c，可得△MF1F2为直角三角形，且∠F1MF2=90°，

2

由cos∠MOF2=cos2∠MF1F2=1-2sin∠MF1F2=，

可得sin∠MF1F2=由sin∠MF1F2=

，

，可得|MF2|=

c， c，

由双曲线的定义可得|MF1|=2a+

222

由|MF1|+|MF2|=|F1F2|，

可得（2a+

2

化为3a+2

c）2+c2=4c2， ac-c2=0，

e-3=0， +

．

2

由e=，可得e-2

由e＞1，解得e=故选：A．

由题意可得△MF1F2为直角三角形，且∠F1MF2=90°，运用二倍角的余弦公式可得|MF2|，由双曲线的定义和勾股定理，以及离心率公式，解方程即可得到所求值．

本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 5.【答案】B

【解析】

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