中考几何-综合题

∴ ∴ （3）解： 设 ∵

的周长，则，∴

．

．

，

．

．即

．

．

∴ 由（1）知

． ∽

，

∴ ．

∴ ∴

的周长的周长与

值无关．

的周长．

例2．在△ABC中，∠ACB=45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝

，CD=，求线段CP的长．（用含的式子表示）

，

答案与解析

【思路点拨】

(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.

(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.

(3)D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.

【答案与解析】 （1）结论：CF⊥BD；

证明如下：∵ AB=AC ，∠ACB=45°，∴∠ABC=45°． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90°， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°．即 CF⊥BD． （2）CF⊥BD．(1)中结论仍成立．

理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45° ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°． 即CF⊥BD

（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45°，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x，

易证△AQD∽△DCP，∴ ，∴，

．

②点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4， ∴DQ=4+x． 过A作AQ⊥BC，

∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC， 则△AQD∽△ACF． ∴CF⊥BD， ∴△AQD∽△DCP，

∴, ∴,

．

【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．

例3．已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于

点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．

（1）当=1 时，CF=______cm，

（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；

（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部

分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

答案与解析

【思路点拨】动态问题未必只有点的平移、图形的旋转，翻折（即轴对称）也是一大热点.(1)给出比例为1，(2)比例为2，(3)比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目.需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化.一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系.尤其要注意的是，本题中给定的比例都是有两种情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要分类讨论，不要遗漏. 【答案与解析】 （1）CF=6cm；

（2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M，

∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ．

∵ =2， ∴ CF=3．

∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF． 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k． 在Rt△ADM中，由勾股定理得：

k=(9-k)+6， 解得 k=MA=

222

． ∴ DM=．

∴ sin∠DAB′=；

②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N，