高中数学必修三北师大版 1.4.1-4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差 学案(Word版含答案)

数据的数字特征

4．1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差

预习课本P25～31，思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数？

(2)什么是极差、方差、标准差？

(3)方差、标准差的计算公式是什么？

[新知初探]

1．平均数、中位数、众数 (1)平均数

x1＋x2＋?＋xn如果有n个数x1，x2，?，xn，那么x＝，

n叫作这n个数的平均数． (2)中位数

把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．

(3)众数

一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．

[点睛] 如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．

2．极差、方差、标准差 (1)极差

一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差． (2)方差

标准差的平方s2叫作方差．

1s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]．

n其中，xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数． (3)标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝ 1222[?x1－x?＋?x2－x?＋?＋?xn－x?]. n[点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． (3)标准差的大小不会超过极差．

[小试身手]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( )

(2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( )

(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( ) (4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√

2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( )

A．84,68 C．84,81

B．84,78 D．78,81

解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.

3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________．

解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为53,60,63,71,74,75,80.1

所以所求的平均成绩为×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68.

7

答案：68

4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶

图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋15

＝11.

5

11

由方差公式得s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝(9＋4＋1

55＋4＋16)＝6.8.

答案：6.8

中位数、众数、平均数的计算及应用 [典例] 据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下： 职务 人数 工资 董事长 1 5 500 副董事长 1 5 000 董事 2 3 500 总经理 1 3 000 经理 5 2 500 管理员 3 2 000 职员 20 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法． [解] (1)平均数是

1

x＝1 500＋(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591

33＝2 091(元)，

中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是 x′＝1 500＋788＝3 288(元)．

中位数是1 500元，众数是1 500元．

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表

1

(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 33

达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．

[活学活用]

1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是( )

A．85分、85分、85分 C．87分、85分、85分

B．87分、85分、86分 D．87分、85分、90分

解析：选C 由题意知，该学习小组共有10人， 因此众数和中位数都是85，

100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75

平均数为＝87.

10

2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )

A．平均数 C．中位数

B．极差 D．方差

解析：选C 判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.

方差、标准差的计算与应用 [典例] 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.

(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数； (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差； (3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛． [解] (1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7； 对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7. (2)x甲＝s2甲＝

7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋4

＝7，

10

1

×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(710

－7)2＋(4－7)2]＝2.8，