信号与系统课后习题答案—第1章

1－5 试证明题1－4的系统满足时不变性。[提示：将方程中的t换为t-t0,导出f(t-t0)与y（t-t0)对应。] 证明：

分别将y(t?t0)和f(t?t0) （t0为大于0的常数）代入方程y'(t)?ay(t)?f(t) 左右两边，则

左边＝dy(t?t0)?ay(t?t0) dt右边＝f(t?t0)＝dy(t?t0)dy(t?t0)?ay(t?t0)??ay(t?t0)?右边

d(t?t0)dt即以式y'(t)?ay(t)?f(t)规定的

f(t)?y(t)关系为前提，存在f(t?t0)?y(t?t0)

因此，系统满足时不变性。

1－6 试一般性的证明线性时不变系统具有微分特性。[提示：利用时不变性和微分的定义推导。] 证明：

设线性时不变系统的激励与响应的对应关系为 由线性可加性可得

f(t)?y(t)，则

f(t??t)?y(t??t)（时不变性）

f(t)?f(t??t)?y(t)?y(t??t) f(t)?f(t??t)y(t)?y(t??t)?

?t?t因此

所以

lim?t?0f(t)?f(t??t)y(t)?y(t??t)?lim

?t?t?t?0即

f'(t)?y'(t) 线性时不变系统具有微分特性。

'?t1－7 若有线性时不变系统的方程为y(t)?ay(t)?f(t)，若在非零f(t)作用下其响应y(t)?1?e，试求方程

y'(t)?ay(t)?2f(t)?f'(t)的响应。

解：

已知f(t)?y(t)?1?e，由线性关系的齐次性特性，有 2f(t)?2y(t)?2(1?e)?2?2e 又由线性系统的微分特性，有

f(t)?y(t)?(1?e)?e 再由线性关系的可加性特性，可得 2f(t)?f(t)?y(t)?2?2e

'?t''?t'?t?t?t?t?e?t?2?e?t