北航张量讲义1

实际上，由问题1.6可知

★ 逆变换矩阵是正变换矩阵的转置矩阵和逆矩阵

下面我们用指标法证明（1.82）式。由（1.70）式得

???ijej?ek???ijek??ej??ij?kj ?ik?ei??ek?ik?jk??ij （1.84）

同理

?jk?ej?ek??ijei??ek??ij?ik

?ki?kj??ij（1.85）

不难证明（1.84）、（1.85）式正是（1.82）式的指标表达式。为此我们先看如何写矩阵乘法的指标表达式，我

们知道，矩阵乘积分量可表示为

?C???A??B?所以

?Cij??AikBkj?AikBkj

k??3????????I?T????????I?再来求坐标的逆变换，为此用?ki乘（1.69）式得

TT??ik?kj??ik?jk??ij???kj??ki?kj??ijTik

?kixi??ki?jiyj?ci??kjyj??kixi??kiciyk??kixi?c?k上式对xi求导得逆变换的Jacobi矩阵

?

(c?k??kici)（1.86）

??yk???J????????ki? （1.87）

??xi?? 向量的坐标变换式

以上重点讨论了基向量相关的变换式，下面我们用向量的不变特性导出任意向量a分量的坐标变换式。由向量不变特性

a?ai?ei??ajej（1.88）

????ajej?ek??ajek??ej?aj?kja?ai?ei??ek??aj?kjai??ik?ak29

则有正变换

ai???ijaj （1.89）

同理可得逆变换

aj??ijai? （1.90）

★ 逆变换数组第二个下标为自由标，正变换数组第－个下标为自由标

可见基向量变换式与向量变换式的形式是相似的。

例题1.4

设向量a在基

g????,??,???g????,?,????g????,?,??? 下的分量为ai???,?,??，求a的解析分量。 解：a的解析分量即a在自然基ij下的分量?j。

??? ??????g????g????g????g????g????g?????????g????,??,?????,?,????????????????????g????,?,??????,?,???????????????????

?g???g?g??g???,??,?????,??,??????????????g???g?g??g???,?,??????,?,???????????????g???g?g??g???,?,?????,?,???????????g????,??,?????,?,?????????????????????????????????????????????????gj为标准正交基。

利用（1.79）式和（1.89）式，gi?eiij?ei?ai?ai?j?a?j则

?ij?ii?gj?i??ijaj

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????i??g????????i??g?????????i??g????????i??g???????i??g??????????i??g????????i??g??????????i??g??????????i??g??????????a?????a?????a????????????????

??????a?????a?????a???????????????a?????a?????a??????

???????????????????习 题 1

1－1 将指标式展开为分量式

?ui?ui???ji?uj?fi?① ② Φ?SijSij ③ ?ij?Cijkl?k? ?t?xj??xj1－2 将分量式写为指标式

dux??a???① ?a???a???a??a??a??a????x???b???uy?uy?uy?????a????x??=?b?? ② duy?dx?dy?dz

?x?y?z???a??????x???b???u?u?uduz?zdx?zdy?zdz?x?y?z?ux?u?udx?xdy?xdz?x?y?z1－3 利用?ij特性简化下式

① ?ij?ij? ② AijBj?ik? ③ BiCjAk?lj?ki? ④ ?ij?ik?j?k ⑤ ?ijk?kij? 1－4 利用指标法证明

① ?a?b???c?d???a?c??b?d???a?d??b?c? ② a??b?c???a?c?b??a?b?c 1－5 利用点积基本特性（公理化定义）证明

① ??a?b??a???b? ② ????a?b???a????b? ③a??b?c??a?b?a?c 1－6 利用向量公理化定义（见（1.6）式））及叉积基本运算特性（见（1.32a）式）证明 ①??a?b??a???b? ②????a?b???a????b?

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③ a??b?c??a?b?a?c ④ a?b?ajbkgj?gk 1－7 利用并积定义证明

?a?b?c?ac?bc

1－8 利用ei???ijej ?ki?kj??ij证明

ej??ijei?

1－9 已知直线坐标系基向量为

g????,?,1?,g????,?,??,g????,?,1?

求Jacobi行列式，并判别坐标系转向。

1－10 将矩阵表达式写成指标式 (?x?为列阵，其余为方阵) ① ?A??B? ② ??I???A?

?? ③?B??T??B???xT

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