北航张量讲义1

引 言

张量可看作是向量（矢量）的一种推广。我们知道，向量是既有大小又有方向的量。然而，在数学和物理学中还会遇到更为复杂的量。对它们的描述就不能只用大小和方向，而必须应用更多的概念。例如，在材料力学中，为了描述变形体内的应力，除了知道它的大小与方向外，还必须知道应力作用面的方位。这样的量就只能用张量的数学客体来描述。事实上，以后我们将会看到，向量和标量均可视为张量的特例，它们分别称为一阶张量和零阶张量。

客观的自然规律本质上与人为选择的坐标系无关。但为了定量描述自然规律，往往需要引入适当的坐标系。这就有可能对于同一现象的描述在不同的坐标系下得到不同形式的数学方程。用张量方程表达物理定律与几何定理具有两个重要的特性。第一个特性是方程形式的不变性，即在任何坐标系下张量方程具有不变的形式。这一特性正好反映了自然规律与坐标系无关这一事实。利用这一特性，我们可以在某些简单情况以及特定的坐标系下建立某种物理现象的数学方程，然后把它写成张量的形式，便可应用到其它复杂情况及坐标系中。在某些情况下，还可根据张量方程的不变特性直接导出物理方程的具体数学形式。当然，并非所有的物理方程均可写成张量的形式，但一个具有普遍意义的物理方程应当具有张量的数学形式，这一点可成为我们判别物理方程普遍性的一种方法。张量方程的第二个重要特性是方程的简洁性。它不仅可大大简化方程的书写与推导，更有助于我们清晰地把握物理现象的本质。随着现代科学技术的发展，张量分析这门学科已成为科学研究与工程技术中不可缺少的数学工具。可以说，对于一个21世纪的科技工作者，如果对张量分析没有一定程度的了解，就无法读懂许多领域（尤其是力学领域）的大部分参考文献，因而无法正常地开展工作。

本书是为工科专业本科生和研究生编写的一本张量入门教材。假定读者已具有高等数学和线性代数的知识，凡遇到上述内容的地方，只作简要的复习或直接引用其结论。书中尽量避免抽象的数学概念与繁难的数学推导，代之与直观的几何或物理解释、证明、或验证。尽管在数学的严密性上不足，但有益于数学背景知识较少的工科学生尽快熟悉和掌握张量这个有力的数学工具。此外，本书重点介绍应用最为广泛的三维几何与物理空间的张量，但许多结论可直接用于抽象的n维线性空间的张量。

张量分析课程内容实际上包括张量代数与张量分析两部分。前者介绍张量的基本概念及代数运算，后者主要涉及张量的微积分。本书把笛卡儿张量与一般张量作为两个相对独立的单元来编写，这样可方便只需了解前者的读者。

限于编者水平，书中难边免有疏误之处，恳请读者批评指正。

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第一章 向量与坐标

张量是向量的推广。和向量一样张量本身与坐标系无关，但其分量的值与坐标系密切相关。本章在复习向量和坐标的同时，介绍了张量的表示方法，重点是指标表示法。除此之外，本章引入了新的内容：向量的并积，为下一步定义张量打下基础。

1.1向量与向量空间

向量可以用三种方式定义：几何方式、解析方式和公理方式。

几何方式是最基本的方式，它直接根据向量的物理意义来定义向量：向量是有大小与向量方向的量，合成时符合平行四边形法则。由定义，可用有向线段OP（图1－1）来表示向量，记为a。O点表示a的起点，P为终点。线段长度表示a的大小，记为a。向量的定义表明：?向量与坐标系无关，这是向量的重要特征。?向量与作用点无关，这是一种数学假定, 它表明向量在数学上视为自由向量，也就是两个长度和方向相同的向量为等向量。

z=x?图1－1 向量的定义 k=i?ai=i?Py=x?Oj=i?x=x? 向量的位置（作用点）效应可用向量函数来反映。如图1－2，水流各点的流速可用向量函数v?x,y,z?表示，x,y,z表示v作用点的空间坐标。

图1－2 流速场 A B C vA vB vC 用几何方式研究向量，最大的缺陷是不便计算。为此可引入直角坐标系（图1－1）将几何向量数值化（解

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析化）。由平行四边形法则，将a沿坐标轴正向分解可得

a?axi?ayj?azk （1.1）

?ax，?i,j,k?为沿坐标轴正向的单位,ay,az为a在?x,y,z?轴上的投影（张量理论中称为分量）

?正交向量组，称为向量的基。

1 指标表示法 ?1 自由标

为简化表示法，引入数字指标（下标或上标）表示数（向量）组，如

?x,y,z???x1,x2,x3??xk

??ax,ay,az??a1,a2,a3??a?

?i,j,k???i1,i2,i3??im

式中，小写指标k,?,m为整型变量，称自由标，可在默认范围内取任意值。本书仅讨论3维线性空间，自由标默认取值为1,2,3 （n维线性空间中，自由标默认取值为1 ，? ,n）。字母带自由标不仅简化了数（向量）组的表示，而且具有双重意义：它既可代表数（向量）组全体(当视自由标为变量时)，亦可表示数（向量）组中某－分量(当视自由标为某－数值时)。

?2 爱因斯坦求和约定与哑标

引入数字指标后，（1.1）式可写为

a?a?i?+a?i?+a?i???ajij

j??? 采用爱因斯坦求和约定：若指标中有两个相同，表示在默认范围内求和，可略去求和号得

a?ajij（1.2）

这里j称为哑标。哑标的默认取值仍为1,2,3。哑标必须成对出现，暗示存在隐含的求和运算。哑标的符号可任换：

ajij?akik?a?i??a?i?+a?i?+a?i?

★ 哑标换号是张量方程推导中常用的技巧。

（1.2）式中，aj代表向量的数量特性，ij是物理实体，可能是一组物理对象或抽象的数学对象（如加

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速度、相互正交单位有向线段等）。但如果我们只关心向量的代数特性，可将ij数值化，人为规定

i???1,?,?? i????,1,0? i????,0,1? （1.3）

2 自然基 线性代数中，单位正交向量构成的基称为标准正交基，这里我们把满足（1.3）式的标准正交基称为自然基。（本书中自然基均用ij表示）通常自然基是默认的标准正交基，任意标准正交基用ei表示，可视为由自然基通过某种变换（旋转、平移、反射）得到。显然除自然基外，ei不满足（1.3）式。由向量代数知基不是唯一的，同一向量可用不同的基表示

a?aiei?ajij （1.4）

ai为a在ei下的分量（坐标）。

由（1.2）式，在给定的基向量i1,i2,i3?ij下，向量a与数组a1,a2,a3?aj 一一对应，我们给出 向量的解析定义：

向量是一个三元数组 a?a?,a?,a??ai ,满足下面运算法则

??????? 相等 a?b 当切仅当 a??b?? 零向量 0???,?,?? a??b?a??b?（ai?bi） ? 负向量 ?a???a?,?a?,?a????ai ? 数乘 ?a???a?,?a?,?a????ai ? 加法 a?b??a??b?,a??b?,a?+b???ai?bi （1.5）

定义中符号'?'表示向量解析定义的数组的数值对应于（1.3）式所确定的自然基，'?'称为解析等，对应。的分量称解析分量。实际上（1.5）式可根据向量的几何定义及（1.3）式推得。

任一向量可表示为

a?a?,a?,a?=aj=a??1,??,??a???,1,0??a???,0,1??a?ii?a??i?aj??a??★ 在自然基下物理实体和纯数之间须用解析等号连接

可见解析法与几何法定义的结果相同。自然基的引入使我们摆脱了向量的物理背景将其完全数值化，从而更利于分析和计算，且可推广到应用更为广泛的n维向量。

由几何定义与解析定义可导出向量满足的八条最基本的运算规律：

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??j（i1.6）