2019年高考数学高考题和高考模拟题分项版汇编专题10概率与统计理(含解析)

【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．

【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为故X~B(3,)，从而P(X?k)?C3()()所以，随机变量X的分布列为

2，323k23k133?k,k?0,1,2,3．

X P 0 1 2 3 1 272随机变量X的数学期望E(X)?3??2．

3232 94 98 27（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y， 则Y~B(3,)，且M?{X?3,Y?1}U{X?2,Y?0}． 由题意知事件{X?3,Y?1}与{X?2,Y?0}互斥，

且事件{X?3}与{Y?1}，事件{X?2}与{Y?0}均相互独立， 从而由（1）知P(M)?P({X?3,Y?1}U{X?2,Y?0})

?P(X?3,Y?1)?P(X?2,Y?0) ?P(X?3)P(Y?1)?P(X?2)P(Y?0)

?824120????． 27992724310．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为

主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元） （0，1000] 支付方式 仅使用A 仅使用B 18人 10人 9人 14人 3人 1人 （1000，2000] 大于2000 （1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；

（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000

元的人数，求X的分布列和数学期望；

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析．

【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100?30?25?5=40人．

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为（2）X的所有可能值为0，1，2．

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)?40?0.4． 1009?314?1?0.4,P(D)??0.6． 3025所以P(X?2)?P(CD)?P(C)P(D)?0.24，

P(X?1)?P(CDUCD) ?P(C)P(D)?P(C)P(D) ?0.4?(1?0.6)?(1?0.4)?0.6

?0.52，

P(X?0)?P(CD)?P(C)P(D)?0.24．

所以X的分布列为

X P 0 0.24 1 0.52 2 0.24 故X的数学期望E(X)?0?0.24?1?0.52?2?0.24?1．

（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得P(E)?11?． C3406030

答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：

P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．

11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为

此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中

a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．

(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)p4 ?【解析】X的所有可能取值为?1,0,1．

1，解释见解析． 257P(X??1)?(1??)?，

P(X?0)????(1??)(1??)， P(X?1)??(1??)，

所以X的分布列为

X P ?1 (1??)? 0 1 ???(1??)(1??) ?(1??) （2）（i）由（1）得a?0.4,b?0.5,c?0.1．

因此pi?0.4pi?1?0.5 pi?0.1pi?1，故0.1(pi?1?pi)?0.4(pi?pi?1)， 即pi?1?pi?4(pi?pi?1)． 又因为p1?p0?p1?0，

所以{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为公比为4，首项为p1的等比数列． （ii）由（i）可得p8?p8?p7?p7?p6?L?p1?p0?p0

?(p8?p7)?(p7?p6)?L?(p1?p0)

48?1?p1．

3由于p8=1，故p1?3， 48?144?11所以p4?(p4?p3)?(p3?p2)?(p2?p1)?(p1?p0)?． p1 ?3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为p4?1?0.0039， 257此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

12．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】在某项测试中，测量结果?服从正态分布

N(1,?2)(??0)，若P(0???1)?0.4，则P(0???2)?

A．0.4 C．0.6 【答案】B

【解析】由正态分布的图象和性质得P(0???2)?2P(0???1)?2?0.4?0.8．故选B． 【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查

B．0.8 D．0.2