概率论试题

《概率论与数理统计》复习资料

????????????????????????????????????????????? 三、【解】设事件 A表示选中的成年居民患高血压，事件 B表示选中的是肥胖者，事件 C表示选中的是 不胖不瘦者，事件 D表示选中的是瘦者，由题意知

令 d lnL(?) ? 0，解得参数?的极大似然估计值为

d?

P(B) ? 0.1, P(C) ? 0.82, P(D) ? 0.08， P(AB) ? 0.2,P(AC) ? 0.1,

P(AD)? 0.05，

由全概率公式得 ? P(A) P(B)P(AB) ?P (C)P(AC) ?

n

?? ? xi ? x ．

? 2 1 2n i?1

????????????????????????????????????????????? 七、【解】依据题意，要检验的假设为 P(D)P(AD) ? 0.1? 0.2 ? 0.82? 0.1? 0.08? 0.05 ? 0.02 ? 0.082 ? 0.004 ? 0.106．

H : ? ? H: ? ? ?????????????????????????????????????????????

?? 四、【解】（1）由概率密度函数的归一性

f (x)dx ? 1????

，得

1

0

1 ?(ax 12 ?

1 )dx 2 2

? a ?

，

得 a ?1 ． （2）

E(X ) ??

? ???1 ??xf (x)dx ? 0 1 x

x(x 2 ?1

)dx 3 3 ?x 4 1 2 1 ? 7 ． 0 12

?????????????????????????????????????????????

五、【解】（1）随机变量 X 服从均匀分布U(0,2)，则 X 的概率密度函数为

f ?1

, 0 ? x 2 X (x) ???

??0,

2; ? 因为随机变量 X 与Y相互独立，所以 f (x, y) ? f 其它.

X (x) fY (y),即

f (x, y) ??e

??2y

, 0 ?0.

?? 0; x ? 2, y

（?2 ） P(Y ? X ) ?y?x

f (x, y)dxdy ? ?2 ?x e 其它. 0 dx?0 ??2 1 dy 0 ?????????????????????????????????????????????x 2 ? (1e

?e ?2x ?2x 2

? 3 ? 2 )dx ?e4 ?4 ?2y ． 0 4 4

六、【】样本似然函数为

L(?) ?n

? f (xi,?n

) ?? ??1

n

1?x

i ?1 n

? ? x i i?1

2 取对数得

xie

i?1 i?1 ? ? 2n ?i?1 x i ?e ,

lnL(?) ? ?2nlnn

n

求导数得

?xi ，

i??1 ???1

ln xi ?1

i ?

dd ln L(2n ? ? ?) ?? ?

?1 2 ?n i?1

x i ， 未知? ，则应该选择t统计量26 0

261 ． t ??1) X ? ? ~ t(n 计算t统计量的观测值为

t 0.43?S / n ，

5.2 16 ， 26.56

?2 6 ? 查表t? / 2(n ?1) ? t0.025 (15) ? 2.13，因为 t ? t?

/

2(n ?1)，所以在显著性水平 0.05下，接受原假

即认为这种零件的平均尺寸为 26

毫米．

2013-2014-2 B卷湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试题参考解答

（2013~2014~2 B）

一、1．【C】 2．【 A】 3．【 D】 4．【 D】 5．【B】 6．【B】

????????????????????????????????????????????? 二、1．0.75 ．2．3/8 ． 3．3/ 2 ．4． 24 ．5． 2X ． 6．(39.51, 40.49)．

????????????????????????????????????????????? 三、【解】 设A i表示“所取零件是第i 台车床加工的”，i ?B 1 , 2， 表示“取出的这个零件是合格品”， 则

17

《概率论与数理统计》复习资料

由全概率公式,

P(A1) ? 2 ， P(A2) ? 1，P(B A1) ? 0.97， P(B A2) ? 0.983 ， 3

P(B) ? P(A1)P(B A1) ? P(A2)P(B

A2)

3 ? 75 ?3 2 ?0 .97 1 ?0 .98 ? 73 ?

1

关于 H 0的拒绝域为

t的观测值

t ? X 0 ? ? X ? 70 ? 4(X ? 70)

~ t(15)．

?

S / n S / 16

S

t ? t?/ 2(n ?1) ? t0.025(15) ? 2.13． t ? 4(x ? 4(66.5 ?7 0) ?

? 70) s 0.9333． 15

?????????????????????????????????????????????

0.9733． 四、【解】 （1）由规范性

?

得 A ?1．

f (x)dx ?? 0(ax ? 1)dx ?

2 2 2

a ? 1 ? 1

??

?? 0.8

.

因为 t ?0 .9333 ? 2.13，即t的观测值不在拒绝域内，故可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分．

????????????????????????????????????????????? (x)dx ? 0 五、【解】 (1) fX (x) ?

y)dy，

??

（2） P(X ? 0.8) ???

?

?

1 )dx ? 1 0.8 ? 1 2

(x .72． f? 2 x 2 0 ? 2 0.8 ?0

0.8

?

??

f (x,

（ⅰ） x ? 0或 x ?1时， f (x) f (x, y)dy ? 0，

?

（ⅱ）0 ? x ?1时， f ??

f (x, y)dy ?0

综上可知

X

(x) ?

X

?

??

?

?? ??

2

（2） P(Y ? X ) ?

Y ?X ? 12?0dx?0

?

0.5dy ?1，

? 1, 0 ? x

f X (x) ? ?1, 其它, 0, ? ?

dy ? ?f (x, y)dxdy 1 x? 0.25． 1 4

n

?

?????????????????????????????????????????????

六、【解】 似然函数为：

i ?n ?x

p(1? p)xi ?1 ? pn ?(1?， L(p) ? P(xi; p) ? ? i?1 i?1 p) i?1 ?

n n

取对数 令

ln L(p) ?n ln p ? (? xi ? i?1

n)ln(1? p)，

n

n

2014-2015-1 A卷

湖北汽车工业学院

xi ? ? d ln L(p) ? n ?1 n ? ?i 0，

dp p 1? p

? ?

1 1

得 p ? ，即参数 p的最大似然估计值为 p ? ．

x x

概率论与数理统计考试试题参考解答

（2014~2015~1 A）

一、1.【 D】 2．【 A】 3．【C】 4．【 B】 5．【 B】 6．【C】

????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????? 七、【解】 设考生成绩为 X ， X ~ N(?,? 2)，已知 n ?16，s ?15，? ?0.05 ，要检验的1

二、1．0.3 2． ． 3．18.4 ．4． 0.8950 5． 2X ． 6． (6.856, 假设为 H 0： ? ? H1： ? ?70 ． ? 8.424) ．

????????????????????????????????????????????? 因为? 未知，所以取统计量 70 ；

18

《概率论与数理统计》复习资料

三、【解】设 Ai表示“第 i 次取到合格品 (i ?1, 2, 3) ”， A 表示“在三次之内取得合格品”，则 ? n

A A3，?

A1 ? A1 A2 ? A1 A2 从而

P(A) A? P(A1) ? P(A1)P(A2 A1) ? P(A1)P(A2 A1)P(A3

1 A2)

?10 10 9 10 9 7? 3 7 3 2 3 ?23 ??0 .9583 ? ? ?

． ?????????????????????????????????????????????8 24

四、【解】（1） ???

1

??解得 a ?2

9

．

??

f (x)dx

??1?04x(1?2

1

axdx x)dx

，

（2） E(X ) ??

1

? x)dx ?2

?2 1

23 于是

(x)dx ??

???xf ?0 4x 2 (1 2 x

9 dx ?27

， E(3X ? ．

? 2) ? 3E(X ) 5

?????????????????????????????????????????????9 ? 2

五、【解】（1） X 的概率密度函数为f (x)

5, ?? ?0 ? x ?

X 和Y 的联合概率密度 f (x, y) ?0, 0.2;

其它. f (x, y) 为

25e?5y ?? 0 ?,

, ? 0 ?? 0; 其它 x ?. 0.2, y 0.2

（2） P(Y ? X ) 0.2

?

?

x

1

0

dx?025e0 ?5ydy ?5

?? (1?

?????????????????????????????????????????????六、【解】e?5x)dx 似然函数为? e ?

0.3679．

L(?) ?n

?f (xn

n i;?) ? e? x?i

? (? )n

(i??1/ ??n

xi

i?1

2e ?x)

，

上式两边取对数得

? ?i? 1 ix?1 i

2 2 i?1 lnL(n

n

? ?x) ?n ln?2 ?1 上式两边求导得

i ， 2 ?ln xi ?? i?1

i?1

d ln L(?) ?n n令dxi ， ? ? ?

i?1 ? d lnL(?) ? 0，解得n

?

d ??

?n ，从而?的极大似然估计值为i?1

x i ? ??n

． i?1

xi

?????????????????????????????????????????????

七、【解】 根据题目要求，待检验的假设为

H 0 : ? ?14.5; H1 : ? ?14.5 ．

由于? 未知，所以检验统计量为

t (15), ? X ?14.5 ~ t

又? ? 0.05, t?/ 2(n ?1) ? t0.025(15) S

16

? 2.13，于是关于原假设的拒绝域为

H 0

t 2.13?． t

? 2(n ?1) ? t0.025(15) ?

计算统计量t的观测值得

x ?? 100 14.12.13, 0.5477 4 ?14.5 ? 2.921?

2.921 ?2 .13 t ?

显然 t ?，即ts 16 的观测值在拒绝域内，从而我们拒绝原假设 H 0，即认为上述测试结果不支持“该校男生的百米跑平均成绩与全国高校男生百米跑平均成绩无明显差异”．

2014-2015-1 B卷湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试题参考解答

（2014~2015~1 B ）

一、1．【 D】 2．【 B】 3．【 D】 4．【 D】 5．【 A】 6．【 A】

?????????????????????????????????????????????

二、20.49)1． A? B?C． 3 5 2． ． 3．0.621

． 4． ． 5．31． 6．(19.51, 19

．

4

《概率论与数理统计》复习资料

?????????????????????????????????????????????

三、【解】设 B：该生能找回雨伞， A1：雨伞落在图书馆中， A2：雨伞落在教室里， A3：雨伞落在学校

由此解得参数?的最大似然估计值为? ?x ? 2，从而参数?的最大似然估计量为? ?X ?

2．

? ?

3

超市，显然?

A1， A2， A3满足 B ?3

i?1

A

iB，由全概率公式

P(B) 0.05 ???i?1 0

.59P．(A i)P(B Ai) ? 0.5? 0.8 ? 0.3? 0.6 ?0 .2? ????????????????????????????????????????????? 四、【解】（1） 由分布函数的性质 F(0) ? 0, F(?∞) ? 1得

F(0) = a +b = 0, F(+∞) = a + 0 =1，

于是a = 1,b =-1．

（2） 当 x ? 0时， f (x) ? F?(x) 2

? xe?x 2

f (x) ???xe0,

，当 ?x2 x 2, x ?0 时? f (x) ? 0，于是 （3） P(1?或 e?X ? 2) ? F(2) ?? F (1) 0, ?1x ?? e0

. ?2 ? (1?． e?1 2 ?1 2

P(1?? e) ?X2

???

21 xe?x 2

?????????????????????????????????????????????2)

2edx ? e?1 2 ?? 五、【解】（f 1）当 x ?1或 x ?X 0(x) 时，???2

? ??f (x, y)dy ．

?

0，当0 ? x ? f ?X (x) ??? 12 时，

2 ??f (x, y)dy ? ?0 (x ?2x 3 1 xy)dy ?2 ? 3 2 x， 于是

f ?X (x) ??2?x ?2 ?

?? 2 1 x, 0 , ? x 0, ? 3

其它. （2） P(X ? Y ?1 ) ? f1 2

(x2 ? 1

?65 ． ?????????????????????????????????????????????y)dxdy ? ?R

? (x , ?(0 1? x xy)dy)dx 3 72 六、【解】似然函数为

?

L(n

n

?1 (xn n 1 (xi ?2) ?1

( ?n

xi ?2n) ?? ) ??

i ?2) i?1 f ?（ xi,?) ?1 i?1 ? e ? ???1 ? ? e ?? ?n ?e ? i?1

， 取对数得 ?

?i?1 ?

lnL(? 2?n)) ?

， ? ?nln?n ? 1 (? xi 上式两边对?求导并令导数为零得

?

i?1 d ln L(?d2 ?n) ??) ?0 ? ??n n ? 12 (? xi i?1

????????????????????????????????????????????? 七、【解】按题意，要检验的假设是

H 0：? ?8 ；

H1：? ?8 ． 因为未知? ，所以应选择如下检验统计量

t ?? X 0 ??t(15) X， ? 8 ~ 又? ? 0.05, t?/ 2(n ?1) ? t0.025S / n (15) ?S / 4

2.13，于是关于原假设 H0的拒

绝域为

计算统计量t的观测值得

t ? t? 2(n ?1) ? t0.025(15) ? 2.13．

t ??2.86 7.65 ， ? 8 ?

由于 t ?2 .86 ? 2.13，即t的观测值在拒绝域内，所以在显著性水平0.49/ 4

? ?0.05 下拒绝原假设，即认为该工厂生产的工件的直径不符合标准．

20