概率论试题

《概率论与数理统计》复习资料

5e? ?5y , y ? 0 ,

f (y) ??

y ? 0 . 0, ? 2 2

(A) 3p(1?2 p． ) ． (C) 3p (1? p) (B) 6p(1?2 ． (1) 求 X 和Y 的联合概率密度 f (x, y) ；（2）求概率 P(Y ? X )． (D) 6p (1? p) p)

2 2

六、（本题满分10分）设总体 X 的概率密度为 ． (D)

? ? ? 等于． x? , x ? f (x;?) ? e 【 】4．设随机变量的可能值为 ?1和 3 ,已知 E(X ) ?1.4 则P(X ?0.6 ?1)

【 】5．考虑对正态总体的均值进行双侧假设检验，如果在显著性水平?1 ? 0.05下接受原假设 ?2 x 0 , ?

(A) 0.3 ． (B) 0.4 ． (C) 0.5 ． ??0, H0 : ? ? ?0，则在显著性水平?2 ? 0.01下

x ? 0 .

其中 ? ?0 为未知参数，X1, X 2,?, X n是取自该总体的一组简单随机样本，x1,x2,?,xn为样本观测值， (A) 必然拒绝 H0． (B) 必然接受 H0．

求参数? 的最大似然估计值． (C) 接受H0的概率为0.01． (D) 拒绝 H0的概率为0.05．

【 】3．某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为 p (0 ? p ? 1)，则此人第 4次射击时恰

好第 2次命中目标的概率为 【 】6．设随机变量 X ~ t(n)(n ?1) ,Y ?

X 2 ,则有

2 2

1

七、（本题满分10分）已知全国高校男生百米跑成绩服从均值为?0 ?14.5 (秒)的正态分布．为了比较某

高校与全国高校男子百米跑水平，现从该校随机抽取男生16人进行测试，测得他们的百米跑平均成绩为

0.5477 (秒)．试问：在显著性水平? ?0.05 下，上述测试结果能否支持“该(A) Y ~ ? (n) ． (B) Y ~ ? (n ?1)． (C) Y ~ F(n,1)． (D) x ?14.1(秒)，标准差为s ?

校男生的百米跑平均成绩与全国高校男生百米跑平均成绩无明显差异”这一结论? Y ~ F(1,n)． ．

二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）：

1．袋中有 10个球(7个白球，3个红球)，今有两人依次从中随机各取一球，取后不放回，则第二人取得 红球的概率为 0.3 . 2．设随机变量 X 的概率密度为

． 则常数k ?

3．设随机变量 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为 0.4 ,则

2

． E(X ) ? 4．设随机变量 X ~ N (1,22)，则 P(?1.6 ? X ?

5．设总体 X ~ U(0,? )（? ?0 为未知参数）， X1 , X 2 ,?, X n是来自该总体的简单随机样本，则参

数

． ? 的矩估计量为?

?

? 6．设总体 X ~ N(?,1.22) , ? 为未知参数，现从中随机抽取 9个观测值，其平均值为 7.64 ，则样本均 值?的置信水平为0.95的置信区间为

．（精确到小数点后面三位）

? k

, ?

f (x) ? ? 1?

?x2 ? 0，

x ?1， x ?1.

5.8) ?

．

2014-2015-1 B卷

湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试题

（2014~2015~1 B）

一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：

三、（本题满分10分）一批零件共 10 个，其中 3 个次品，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再 放回去，如果取到一个合格品后就不再继续取零件．求在三次之内取得合格品的概率． 四、 （本题满分10分）设随机变量 X 的概率密度为

x ?1， ? 4x(1? 0 ?

? x), 1? x ? 2， f (x) ? ? ax, ?? 其它.

0 ,

求（1）常数a，（2） E(3X ? 2)．

五、（本题满分12分）设 X 和Y 是两个相互独立的随机变量， X ~ U[0, 0.2]，Y 的概率密度函数为

9

【 】1．假设事件 A和 B满足P(A | B) ? 1，则

(A) B是必然事件．

(C) A ? B．

【 】2．下列函数不是随机变量密度函数的是

(B) P(A | B) ? 0．

(D) P(B ? A) ? 0．

《概率论与数理统计》复习资料

0 ? x ? 1, 其它. 0 ? x ? ? ?2x, 0 ? x ? sin x, , ? ? ? (C) f (x) ? ?1, 2 (D) f (x)

?0, ? 0, 其它. 其它. ?

【 】3．设随机变量 X 服从正态分布 N(? ,? 2) , 则概率 P(X ? ? ?1) (A)随?增大而增大． (B) 增大而减小． ? 随?

(C)随? 增大而增大． (D)随? 增大而减小．

【 】4．若随机变量 X 、Y独立，其分布列分别为

(A) f (x) ?2 , 0 ? x ? ??3x

? 0, 1,

其它.

x ?e ,

(B) f (x) ?

0, ? ?

?a ?be?x2 2 x ? 0

四、（本题满分10分）设连续型随机变量 的分布函数为 F(x) ? 0 x ? ??

0

求：(1)求常数a ,b的值；(2)求随机变量 X 的概率密度； (3)计算 P(1? X ? 2).

X

五、（本题满分12分）设二维随机变量(X , Y)的概率密度为

1 xy , 0 ?x ?1, 0 ? 2 ? ?x y ? 2, f (x , y) ?? 3

? ?其它. ? 0 ,

求：(1) X 的边缘概率密度 f X (x)；(2)概率 P(X ?Y ? 1).

六、（本题满分10分）设总体 X 的概率密度为

X

则下 列

P 1 3 2 3

正确

?1 1 Y

P 1 3 2 3

的是

?1 1

2

Y) (B) P(X ? Y) 3 ?1．

5 Y) ?

(D) P(X ? Y) 七、（本题满分10分）已知某工厂生产工件的直径在正常情况下服从正态分布 N(8,? 2 )，现从一批这种

2 9 ? ．

工件中随机抽取16只, 测得其样本均值为 7.65,样本标准差为 0.49,问在显著性水平? ?0.05 下能 【 】5．在总体 X 中抽取样本 X1 , X 2 , X 3 ,1 已知 X1 ? 1 X 2 ? aX 3是总体均值 ? 的无偏估计，

否认为该工厂生产的工件的直径符合标准. 则 2 3

常数a等于

1 (B) 1 ． (C) 1． (D) ? 1 ． (A) ．

6 2 3 6

【 】6．设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0 ,1)，则随机变量Y ? 3X ?1服从的分布为

(A) P(X ?

? ．

(C) P(X ?1 ．

(A) N(?1, 9)． (B) N(1, 9)． (C) N(1, 3)． (D) N(?1, 3) ．

二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：

． 1．用事件 A,B,C 的运算关系表示 A,B,C 至少有一个发生为

2．袋中有 5个球，其中有 3个白球，2个黑球.今有两人依次从中随机各取一球，取后不放回，则第二 人取得白球的概率为 ． ． 3．设P(A) ? 0.5 ,P(B) ? 0.6 , P(A B) ? 0.8则 P(A? B) ?

． 4．设 X与Y 相互独立且都服从区间[0 , 4]上的均匀分布， P[max(X ,Y) ? 2] ?

?1

f (x;?) ? ? e?( x?2) / ? ,

x ? 2, ??

其它. ?

0,

其中参数? ?0 ，如果取得样本观测值 x1, x2,?, xn , 求?的最大似然估计量． ?

2012-2013-1 A卷

湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试题参考解答

（2012~2013~1 A）

(6 , 22) ,则 E(X 一、1．【 D 】 2．【 D 】 3．【 B 】4 ．【 B 】 5．【 C 】 6．【 A 】

． ????????????????????????????????????????????? ? 9) ?

二、1 3 ． 6．(108.98,121.02)． 6．设一批零件的长度服从正态分布 N(?,1)，现从中随机抽取 16个零件，测得长度的平均值为 , 1． 19 三、（本题满分10分）某学生雨伞丢失了.落在图书馆中的概率为50%，这种情况下找回的概率为0.8； 20 cm ． 2． 0.5 ． 3． ． 4． 1 ． 5．

2 27 5 落在教室里的概率为30%0.6；落在学校超市的概率为 20%，这种情况 则? 的置信水平为0.95，这种情况下找回的概率为的置信区间为

下找回的概率为 0.05，求该生能找回雨伞的概率． ?????????????????????????????????????????????

10

N 5． X ~

2

．

《概率论与数理统计》复习资料?

三、【解】 (1) ?? ?1由

得 f (x)dx

??

??

1

(a ? x)dx ?1 ? a ? 3

所以a ? 2．

?1 ??f (x)dx ??1

?2

?1， 0

xdx 2 2 1 ?

1.5

（2） P(0.5 ? X ?1 .5) 1.5

(2 ? x)dx 2 ?? 2 (

2x ?) ? 3 ． 四、【解】xdx ? ?似然函数为

0.5 ??1 x ?????????????????????????????????????????????2 x0.5 2 1 4

L(?) ?n

n

? i?1 f (x ? i,?) ?i?1 x?? ?n

?， i ? 1 ( ?n

? ?1 i?1

x i) 上式两边取对数得

ln L(?) ?n

上式两边对? 求导并令导数为零得ln xi

，

nln ? ??i?(1 ? ?1) d ln L(? d? ?) ?? ? n

n

i?1

ln x i ?0 ， 解得 ? ??n n

，从而?的 最大似然估计值为 ? ? ?n ． i?1

ln x n

i ?i?1

ln x i

????????????????????????????????????????????? 五、【解】（1）当 x ? 0或 x ? 2

时，

f ??

X ?(x) 0，=当0 ? x ? 2时，

??? f (x, y)dy

f X (x) ??? 11 ??f (x, y)dy ??0 所以 X 的边缘概率密度为?

= 3 (x ?? 1， y )dy 3 ? 6 1 x

f?1 x ? 1 , 0 3 X (x) ??? ??0,

?

6 2, ? x 其它. （1 ?2 ） P(X ?Y ?x?? 1) y?f (x, y)dxdy ?1

? ?0 dx ?1?x 1 (x ? y)dy ?0 1 1 3 ?0 6 (1 ? 2 )dx x ?9 1． ????????????????????????????????????????????? 六、【解】 依据题意，要检验的假设为

H 0 : ? ?500 ，H 1 : ? ?500

．由于未知? ，所以检验统计量为

t ??0

X ?? X S / 4 ? 500 ~ t(15)，取显著性水平? ? 0.05，则检验拒绝域为S / n

t ? t?/ 2(n ?1) ? t0.025(15) ?

计算上述t统计量的观测值得

2.13．

t ??1.92 510 4

04.8， ? 500 现在， t ?1.92 ?2 .13，即观测值t ?1.92不在拒绝域内，所以在显著性水平0.05下，接受原假设． 即认为该日生产的瓶装饮料的平均重量为500克．

?????????????????????????????????????????????

七、【解】设事件 A表示电源电压不超过 200伏，事件 B表示电源电压在 200 ~ 240伏之间，事件C表 示电源电压超过240伏，事件 D表示电子元件损坏． 由题意知 P(D A) 又

P(A) 0.2 ，

? 0.1,P(D B) ? 0.01 P(DC) ?

? 220 ? P(X ? 200) ? P( X ?200 25 ?2 20) P(B) ?? 20.2119 ?(?20

? P(200 ，0.8) ??X 1??25

?240) (0.8) ??P ?(200 1? X ?0.7881 220 ?? 240

P(C) ? ?(0.8) ??25 ?2

25 20) ? 220 0.5762?P (X ， ? 240) (?0.8) ?1? 2?(0.8) ?1?

从而由全概率公式得

25 ?P ( X ?240 0.2119 25 ?，25 2

20) ?1? ?(0.8) ?

P(D) P(C)P(DC) ?? P? 0 0.2119 (A)P(D A) .0693．?

0 .1??P 0 .5762(B)P(D B) ? 0.01??

0 .2119 ? 0.2

2012-2013-1 B卷湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试题参考解答

（2012~2013~1 B）

一、1．【 D】 2．【 D】 3．【B】 4．【 B】 5．【C】 6．【 A】

?????????????????????????????????????????????

二、1． A? B?C． 2．3p 2

(1? p2

) ． 3． 0.62 ． 4． ?1 ． 5．1 ． 6．(19.562, 20.438)． ?????????????????????????????????????????????

三、【解】 设A ：从乙袋中任取一球为白球，B i：从甲袋中任取两球中恰有i 个白球（i ?0 ,1,2），则11

《概率论与数理统计》复习资料

1 2 1

P(B0) ?2 C22 ? 1 , P(B1) C2 C3 ? ? 6 , P(B2) ?因为u ? ?1.699 ? ?1.645，即u的观测值在拒绝域内，所以在显著性水平 ? ?0.05 下拒绝原假设而接

? C C3 5 10 C52 2 ? 3 ， P(A B10

C5 10 ? 6 0．) ? 4 , P(A B1) （1）由全概率公式得10 ? 5 , P(A B10

2)

P(A)

6 ???1 2 P(B10 i )P(A Bi 4 5 3 i?3 0

． 10 10 10 10 10 ?) ??6 1 ? ?? （2）由贝叶斯公式得

10 25 P(B1 A )

P(B1P(A) )P(A B?10 1) 6 1 ?0 5 ?26 15 ． ??????????????????????????????????????????????

13/ 25 四、【解】 由题设， X ~ N(20, 40

2

p ? P( X ?)，则测量误差的绝对值不超过3 0) ?P (?30 ?X ?30 30) ?m的概率为?(30 ?

2??(? 3 0??? 40 40

)

0) 设 A为“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过?20 0.4931(1.25) ?0 .5987 (0.25) ? ?(?1.25) ? ?(0.25) ?

(1?p ) ， ??1 0 30.8944 米”，则?

1 ?

P(A) ?1? 3

?1?3 (1?1? 0.4931)

?????????????????????????????????????????????? 0.1302 ?0 .8698． 五、【解】 (1) X 的概率密度为

f X (x) ??0, x1, x

??[0 ,1], [0 ,1],

由 X , Y相互独立得(X ,Y)的联合概率密度?

?

f (x , y) ?? ? fX (x) fY ??1 ? e ?2 , 0 y ? x ?1, y ?(y) 2

0, ? 0, ? y 其它? . x ?(2) P(Y ? X ) 1 ?? 1 y?x

? ??f (x , 2 e 2 dy ?1 ?e 2 0

dx e ?2 (1?2

) 1

? 0.787. ?????????????????????????????????????????????y)dxdy ??0dx?x

六、【解】 按题意，要检验的假设是

H 0： ? ?4.40 ； 因为已知标准差? ?0.05 4.40，所以检验统计量为． H1： ? ?

u ? ?? X / n

0 ?? X ? 4.4 ?~ N(0,1)，在显著性水平? ?0.05 下，检验拒绝域为u 0.05/ 5

?1.645? ?u．0.05

? ?t0.05(?) ? 计算上述统计量u的观测值得

u ?0.05/ 5

4 .362 ?4 .40 ? ?1.699，

受备择假设，即认为该日铁水含碳量在显著性水平? ?0.05 下是显著降低了．

?????????????????????????????????????????????

七、【解】（1） E(X ) ??

?

?

??xf (x,

???)dx

? ?x??2?t 2 ?xe?

??(x?2)dx ? ??0 ?令 X 2)e??? Etdt (X )?，即 1 ? X 2?， 1 ? 2?

(t

，解得参数?的矩估计量为 ?

??

? 1 ．

（2）样本似然函数为

X 2 ? L(?) ?n

f (xn

??( n

xi ?2n)

?

i,?) ?e??(xi ?2) ?? i?1

，

i?1 上式两边取对数得

? ?i?1 ? ne ln L(?) ? nln?n

? 2n)，

i? ?1 ?(? Xi

上式两边对?求导并令导数为零得

d ln L(? d? ?) ?

n ? ? 0?n ( x i?，1 i ? 2n)

解得? ?n

?n

1

，从而参数 的最大似然估计量为 i2n ?1

x?

? i ? x 2 ?

?? ?X 1 2

?．

2012-2013-2 A卷湖北汽车工业学院

概率论与数理统计考试试题参考解答

（2012~2013~2 A）

一、1.【 D】 2.【 B】 3.【C】 4.【C】 5.【 D】 6.【C】

????????????????????????????????????????????? 二、

4

1． 5． 1 ?????????????????????????????????????????????4．．

0.94 ． 2． 0.62 ． 3． 20 ．

25 . 6．(19.562, 20.438)． 三、【解】 设事件 A表示“从乙箱中任取一件产品是次品”，事件 Bi表示“从甲箱中任取 3件产品中恰12