概率论试题

《概率论与数理统计》复习资料

概率论与数理统计考试试题

（2013~2014~1 A）

一、（本题满分24分，每小题4分）单项选择题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：

【 】1．已知事件 A发生必然导致事件 B发生，且 P(A) ? 1 ,P(B) ? 2，则P(AB)

5．设从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为0.4， 则途中遇到红灯次数的数学期望为

．

6．一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间，在面积相同的9块内墙上做实验，记录干燥时间（单

位：分钟），得到样本均值 x ? 66.3分，设油漆的干燥时间服从正态分布 N(?, 9.32)，则未知参数? 的置信水平为0.99的置信区间为

．

?

【 】2．设随机变量 X 的分布律为

1

(A) ．

3

(B) 1． X pi

?1 0.2

(C) 3 ．

4 0 0.1

1 0.4

2

3 (D) 1 ．

6 2 0.3

三、（本题满分12分）设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.4, 0.6， 汽车和火车正点到达目

的地的概率分别为0.8, 0.9．求甲正点到达目的地的概率．

X ? (C) 0.5． (D) 0.6． (A) 0.2． (B) 0.4． ，且 X 与Y 相互独立，【 】3．设 X ~ N(1,2),Y ~ N(2,4)

则

2

，则P(Y ? 1) 且随机变量Y ?

?0.25x, 0 ? x ?

四、（本题满分10分）设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ? ?a?x ? 2; 2 ?x ? 4; 又E(X ) b,

? 2， ? 0, ?

其它.

求常数a,b的值．

(B) 2X ?Y ~

五、（本题满分10分）设总体 X 服从泊松分布 P(?)，其概率函数为 N(0,1)．

2 3 p(x;?) ? ??

(D) 2X ?Y ~ e , x ? 0,1,2,?. ?x

(C) 2X ?Y ?1 ~ N(0,1)． x! 2 N(1,4)．

为未知参数， x1 , x2 ,?, xn是取自该总体的一组简单随机样本观测值，求参数 ?的最大 【 】4．已知随机变量 X , Y 相互独立，且E(X ) ? 2,E(Y) ? 3,D(X ) ? D(Y) ? 1，则 E[(X 其中? ?0

似然估计值． ?Y)2] ? ． (A) 0(B) 3． (C) 2． (D) ?1．

1 【 】5．设 X 1, X 2, X 3是来自总体 X 的一组简单随机样本，已知 X 1 ? 1 X 2 ? aX 3是总体均值?六、（本题满分10分）设二维随机变量(X ,Y)的联合概率密度为

的 2 3 ?1? xy ,

x ? 1, y ? 无偏估计，则常数a ? f (x, y) ? 4 ? 1; 5 (B) ? 1 ． (C) 2． (D) 1 ． ? ?(A) ． ?

6 6 3 2 0, 其它.

X 【 】6．设总体 X 在[? ?2, ? ?2] 上服从均匀分布(其中 ?为 未知参数)， x1,x2,?xn是来自总体的

求：（1） 的边缘分布 f X (x)；（2） P(Y ? X 2)．一组简单随机样本观测值，则?的矩估计值?? 等于

n n

2 n 1 n 七、（本题满分10分）从某种试验物中随机地取出 16个样品，测量其发热量，计算得样本均值为 (D) n xi ． (A) ?xi ． (B) ?xi ． (C) xi ． ? ? n n i?1 i?1 i?1 i?1 x ? 11958，样本标准差为 s ?3 23，假设发热量服从正态分布，问在显著性水平 0.05下，可否认为

(A) 2X ?Y ~ N(0,1)．

二、（本题满分24分，每小题4分）填空题（请将你的答案填入答题卡的指定位置）：

1．在由 2位女教授、 4位男教授组成的候选人中，随机地选出 3位理事，则恰有1位女教授当选的概率 为

．

发热量的均值为12100？

2013-2014-1 B卷

． 2．已知事件 A , B互不相容,且 P(A) ? 0.3,P(B) ? 0.4，则 A , B中至少有一个事件发生的概率为3．设随机变量 X 服从参数为 2的指数分布， F(x)为其分布函数，则 F(1) ? ． 4．已知 D(X ) ? 2，则D(3? 2X ) ?．

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概率论与数理统计考试试题

《概率论与数理统计》复习资料

（2013~2014~1 B）

一、（本题满分2４分，每小题4分）单项选择题（请把正确答案的代码填入题前的括号）： 【 】1．设 A,B为两相互独立事件，则下列结论肯定正确的是

5．设随机变量 X 的概率密度为 f (x) ? Ae?

_______________.

6． 设 随 机变 量 X 服 从 标 准正 态 分 布 N(0,1 ), 则 随 机 变量 Y ? 5X ? 2 服 从 的 分布 为 _______________.

x

(?? ?x ? ??),则系数 A ?

(D) P(AB) ?P (A)P(B)．

个数字不能为0）.求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率（结果保留四位小数）．

【 】2．设 X 1 , X 2 , X 3都服从[0 ,2]上的均匀分布，则 E(3X 1 ? X 2 ? 2X 3) ? (A) 4． (B) 3． (C) 1． (D) 2．

四、（本题满分10分）若总体 X 服从泊松分布 P(?) ,其中 ? ?0 为未知参量 . 若取得样本观测值为

【 】3．若随机变量 X 的数学期望存在，则 E[E 2(X )] ?

x1 , x2 ,?, xn .求?的最大似然估计值． 2

(A) 0． (B) E (D) E(X )．

【 】4．设随机变量 X 的分布函数为 X ? 4的分布函数为 (X )． (C) X ．F(x) ，则随机变量Y ?7

(A) G(y) ? F( y ? (B) G(y) ? F( y ? 五、（本题满分１１分）设随机变量(X , Y)的联合概率密度为： 4)． 4)． 7 7 7

??cos xcos y, 0 ? x ? ?, 4 (D) G(y) ? F( y) ; 0 y ? ? (C) G(y) ? F(7y ? f (x , y) ?? 2 2 ? ． 7 7 4)． ? ? 0, 其它．

【 】5．下列函数中可成为随机变量 X 的概率密度函数的为

?

(A) f (x) ? ??sin x, (B) f (x) ? ?cos x, 求：（１） X 的边缘概率密度 f X (x)；（２） P(X ?Y ?

． ． ?x?[0,? ] x?[0,? ] ? )． 0, x?[0,? ] 0, x?[0,? ] 2 ?

? sin x, x?[0, cos x, x?[0, ? ?

3? ] 1 ? ] ?六、（本题满分1１分）某产品的某项质量指标服从正态分布 N(? ,1502).现从该产品中随机抽取36件， 2 ． 2 ． (C) f (x) ? (D) f (x) ? x?[0, x?[0, ? ? 0, 测得该项指标的平均值为1836，问能否认为这批产品的该项质量指标均值为1800（取显著性水平 ?? 3? ] 1? ] 2 2 ? ? 0, ? ?0.01) ？

【 】6．设总体 X ~ N(? ,? 2),其中? ? ?0.从 X 中抽取样本 X 1, X 2,?X n.样本均值为 ?

2

X ,样本方 则下列随机变量中为统计量的是 ? k2 , x ? 1000;（１）求常数k；

七、（本题满分10分）某型号元件的使用寿命 X 的概率密度 f (x) ? ??x 2 n n

差为S . (B) 1 (C) (n n(X ? ?)．

(X i ? ?)2 ． (X i ? X )2 ．． (A) (D) ? ? ?1)S ?? 0, x ? ? 0 S ? i?1 i?1

1000. 2

（２）独立使用三个这样的元件，求在最初1500小时内至多有一个损坏的概率．

二、（本题满分24分，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在题后的横线上）：

1．袋中有 5个球（3个白球， 2个黑球）.今有两人依次从中随机各取一球，取后不放回,则第二人取 得白球的概率为 _______________.

2．甲、乙两人独立地对同一目标进行射击一次 ，甲、乙命中目标的概率分别为0.6和0.5，则目标被 击中的概率为 _______________.

3．设 P(A) ? 0.5,P(B) ? 0.4,P(AB) ? 0.6.则 P(AB) ?

(A) A与 B互不相容．

(C) P(AB) ? P(A)．

(B) A与 B 互不相容．

三、（本题满分10分）电话号码由7个数字组成，每个数字可以是 0,1,2?9中的任何一个数字（但第一

2013-2014-2 A卷

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_______________.

4．设三次独立试验中事件 A发生的概率均为 p .已知三次独立试验中 A至少发生一次的概率为 ,则

p ?

_______________.

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概率论与数理统计考试试题

（2013~2014~2 A）

6

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4．设随机变量 X 服从均匀分布U(0,5)，则 E(X ) ? ．

．

一、（本题满分24分，每小题4分）单项选择题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：

【 】1．已知 P(A) ? 1 ,P(B) ?1 ,P(AB) ? 1，则 P(A? B) ?

5．已知随机变量 X 服从参数为 2的泊松分布，则 E[(X ? 3)2] ?

6

2 (C) 5 ． 1

． (A) ． (B) 1． (D) 4 3 6

【 】2．设离散随机变量 X 的概率函数为 P(X ? k) ? 5a

k , k ? 1,2,?，则常数a 2 ? (C) 1． 1 ． 2 ． 3．

(A) 10 (B) 5 (D) 5

5

【 】3．设 X ~ N(0,2),Y ~ N(1,4)，且 X 与Y 相互独立，则 (B) 2X ?Y ?1 ~

(A) 2X ?Y ~ N(0,1)．N(0,1)．

2 3

(D) 2X ?Y ~

(C) 2X ?Y ?1 ~ N(0,1)． 2 N(0,4)．

【 】4．已知二维离散随机变量(X ,Y)的联合分布律为

2 3

6． 已知总体 X 服从 N(?, 0.81)，从中抽取样本容量为9的一组简单随机样本，测得样本均值 x ? 5，

． 则未知参数?的 置信水平为0.99的置信区间为 三、（本题满分10分）设某地区成年居民中肥胖者占10%，不胖不瘦者占82%，瘦者占8%，又知肥胖

者患高血压的概率为 20%，不胖不瘦者患高血压的概率为10%，瘦者患高血压的概率为5%. 现从 该地区的成年居民中任选一人，求此人患高血压的概率． 四、（本题满分10分）设连续型随机变量 X 的概率密度为

ax ? ?

0 ? x ? ?

f (x) ?1 , 2 1;

? ? ?其它. 0,

求（1）常数a的值，（2） E(X )．

五、（本题满分12分）设连续型随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 服从均匀分布U(0,2)，Y 的概率密 度为 fY (y) ? ,

??2e?2y

0.

? 的联合概率密度 f (x, y)；（2） P(Y ? 求：（1）(X ,Y)X )．

若随机事件\? 0\与\?Y ? 1\相互独立，则a,b的值分别为

六、（本题满分10分）设总体 X 的概率密度为

? x

? 12 xe ? ? , f (x;?) ? ?

? ?0, ?

y ? 0; y ? 0.

(A) a ? 1 ,b ? (B) a ? 2 ,b ? x ? 0, (? ?0) 1． 1． 4 4 3 2 x ? 0.

(C) a ?1 ,b ? (D) a ? 1 ,b ?

x1,x2,?,xn是来自总体的一组简单随机样本，试求未知参数?的最大似然估计值． 1． 6 1． 3 3 6

1 【 】5．设 X 1, X 2, X 3是来自总体 X 的一组简单随机样本，已知 X 1 ? 1 X 2 ? aX 3是总体均值?

七、（本题满分10分）已知某种零件的尺寸服从正态分布，随机地从一批这类零件中抽取出16件测量其 的 2 4 尺寸，计算得样本均值为 x ? 26.56毫米，样本标准差为 s ?5 .2毫米，问在显著性水平 0.05下，可

无偏估计，则常数a ? 否认为这种零件的平均尺寸为26毫米？

1 (C) 2 ． 1 1

． ． (A) ． (B) (D) 6 2 4 3

【 】6．设总体 X 服从正态分布 N(?,? 2)，其中 ?已 知，?未 知， X 1, X 2, X 3是来自总体 X

2013-2014-2 B卷

的一

组简单随机样本，则下列选项中不是统计量的是

2

X i

． (D) X 1 ? ?(A) X 1 ? X 2 ? X 3． (B) max(X 1, X 2, X ． ? ? 2 i?1 3)． (C)

3

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概率论与数理统计考试试题

（2013~2014~2 B）

一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把正确答案的代码填入题前的括号）：

【 】1、已知事件 A与事件 B有 B ? A，则下列结论正确的是

(A)． A与 B同时发生． (B)．若 A发生，则 B必发生．

二、（本题满分24分，每小题4分）填空题（请将你的答案填入答题卡的指定位置）：

1．从装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品 2件）的箱子中任取两件产品，则恰好取 到两件一等品的概率为 ． ． 2．已知事件 A , B互不相容, 且P(A) ? 0.3,P(B) ? 0.4，则 P(AB)

?

3．在独立试验序列中，每次试验成功的概率为 ，则在3次试验中恰好成功两次的概率为

2

3

．

7

(C)．若 A不发生，则 B必不发生． (D)．若 B不发生，则 A必不发生．

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【 】 2、设随机变量 X1, X 2, X 3, X 4相互独立且都服从标准正态分布 N(0, 1) ,已知Y ? X12 ? X

2 ， 四、（本题满分10分）设随机变量 X 的概率密度为 22

X 32 ? X

4

对于给定的? (0 ?? ?1) ,数 y?满足 P(Y ? y?) ? ?,则有

(A)． y?y 1??? 1． (B)． y? y1?? / 2 ?1． (C)． y? / 2y1?? ?1． (D)． y?/

2y(1??) / 2 ?1． 求（1）常数 A，（2）P(X ? 0.8)．?

【 】3、设随机变量 X ~ N(2, 2)，又 P{2 ? X ?4 }? 0.3，则P{X ?0 }为

计中最有效的是

? ax ?

0 ? x ? 1;， 1 , f (x) ? ? 2

??0, 其它.

五、（本题满分12分）设二维随机变量(X , Y)的联合概率密度为

【 】4、设 X 1, X 2, X 3是来自于总体 X 的简单随机样本，且 E(X ) ? ?，则未知参数?的下列无偏估 ． (A)．0.7． (B)．0.5． (C)．0.3． (D)．0.2

(A) 1

4 (X 1 ? 2X 2 ? X 3)．

(C) 1 (X 1 ? 2X 2 ? 3X 6 3)．

【 】5、已知随机变量 X 的分布律为

X pi

随机变量Y ? X (X ?1)，则 E(Y)等于 2

1

(B) 5 (X1 ? 2X 2 ? 2X

3)．

X 2 ? X (D) 13 (X 1 ?

3)． ?1 0.5

0

1 0.2

f (x, y) ? ?0.5, 0 ?x ? 1,

? 0 ? y ?2, 其它， ?0,

(1) 求 X 的边缘概率密度 fX (x)；（2）求概率 P(Y ? X )．

六、（本题满分10分）设总体 X 服从几何分布 P(x, p) ? p(1? p)x?1，x ?1,2,3,?，若取得来自该总体的简单随机样本观测值 x1 , x2 ,? , xn，求参数 p的最大似然估计值．

0.3

七、（本题满分10分）设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机抽取 16为考生的成绩算得平均成 绩为66.5分，标准差为s ?15（分），问在显著性水平? ?0.05 下是否可以认为这次考试全体考生的平 均成绩为70分，请给出检验过程．

(B)．0.5． (C)．0.2． (D)．0.3．

【 】6、已知随机变量 X ~ N(1,3)，Y ~ N(0,1)且 X , Y相互独立，则Z ? 2X ?Y ? 3服从的

分布 是

(A)．0．

(A) N(3, 7)． (B) N(5,13)． (C) N(4,16)． (D) N(5,16)．

二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在题后的横线上）： 1、设 P(A) ? P(B) ? P(C) ?1 3, P(AB) ? P(AC) ? 0, P(BC) ?1 4 , 则 A, B, C至少有一事件发生的概率为 ．

2、同时掷三枚均匀的硬币恰好出现一个正面的概率为 ．

k

2014-2015-1 A卷

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? 2? 3、设离散型随机变量 X 的分布律为： P(X ? k) ? a? ?且 k ?1,2,3,?，则． a ?

? 5? ．

4、设随机变量 X ~ B(6, 0.2)，则 D(5X ? 4) ?

5、设总体 X ~ U(0,? )（? ?0 为未知参数）， X1 , X 2 ,?, X n是来自该总体的简单随机样本，则参

数

． ? 的矩估计量为? ? 6、设一批零件的长度 X （单位：cm）服从正态分布 N(?,1)，从中随机抽取 16个零件，测得样本均 值为 x ?4 0.(cm)，则样本均值?的置信水平为0.95的置信区间为 二位）

．（精确到小数点后面

?

概率论与数理统计考试试题

（2014~2015~1 A）

一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）： 是某随机试验中的三个事件， D 表示“只有 A 发生”，则 【 】1. 设 A, B,

C

三、（本题满分10分）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概

率是0.02 .加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍. 求任意取出的零件是合格品的概率 ．

8

(D) D ? ABC． (B) D ? A(B?C)． (C) D ?

(A) D ? A． ABC ． 【 】2．已知事件 A与B满足条件 P(AB) ? 0.2，且 P(A) ? 0.6，则 P(B | A) ?

(D) 0.8．

(A) 0.5． (C)

0.7．

(B) 0.6．