(10份试卷合集)山东省济南高新区四校联考2019年数学高一下学期期末模拟试卷

22.(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝x|x－a|＋bx(a，b∈R)．

(1)当b＝－1时，函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的值； (2)当b＝1时，

①若对于任意x∈[1，3]，恒有

f（x）

≤2x＋1，求a的取值范围； x

②若a＞0，求函数f(x)在区间[0，2]上的最大值g(a)． 数学参考答案 一、选择题

题 号 答 案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 C 10 B 11 D 1.D 【解析】选项A，根据向量的交换律可知正确；选项B，向量具有数乘的分配律，可知正确；选项C，根据向量的结合律可知正确；选项D，a，b不一定共线，故D不正确．故选D.

2．D 【解析】A.单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B.A、B、C、D四点可能共线，故B→→

不对；C.只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D.因AB和BA方向相反，是平行向量，故D对．故选D.

3．A 【解析】cos 12°cos 18°－sin 12°sin 18°＝cos (12°＋18°)＝cos 30°＝4．C 【解析】函数f(x)＝

3

，故选A. 2

tan xsin xcos x12π

＝π，故选C. 2＝22＝sin 2x的最小正周期为

1＋tanxcosx＋sinx22

5．D 【解析】由向量模的不等关系可得：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

|a＋b|≤|a|＋|b|，故A恒成立． |a|－|b|≤|a＋b|，故B恒成立．

|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故C恒成立．

令a＝(2，0)，b＝(－2，0)，则|a|＝2，|a＋b|＝0，则D不成立．故选D. 6．B 【解析】根据函数的图象A＝2.

?7ππ?由图象得：T＝4?－?＝π， ?123?2π

所以ω＝＝2.

T

π?π??π?当x＝时，f??＝2sin?2·＋φ?＝0，

33?3???2π2π

∴＋φ＝kπ，φ＝－＋kπ.k∈Z.

33由于|φ|<

π?ππ?，取k＝1，解得：φ＝，所以f(x)＝2sin?2x＋?.

3?23?

6

，故选B. 2

7． C 【解析】根据题意，角α，β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B， 则A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)， 则：f(π)＝

→→

则有OA·OB＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)；

故选C.

222

8．B 【解析】∵(sin α－cos α)＝sin α－2sin αcos α＋cos α

22

＝(sin α＋cos α)－2sin αcos α；

又∵sin α＋cos α＝1，sin αcos α＝∴(sin α－cos α)＝1－2×得sin α－cos α＝±

2

22

3， 10

32＝； 105

10； 5

ππ22

由＜α＜，知

10

.故选B. 5

ππ?π2π?)，∴＋α∈?，?，

3?26?6

9．C 【解析】∵α∈(0，

?π?1?π?由cos?＋α?＝，得sin?＋α?＝

?6?3?6?

π??则sin α＝sin??＋α

??6

?22， 2?π

1－cos?＋α?＝

?6?3

?－π?

?6???

?π?π?π?π22×3－1×1＝26－1.故选C.

＝sin?＋α?cos－cos?＋α?sin＝

6632326?6??6?

10．B 【解析】将y＝3sin?2x＋

?

?

π?π??π?π?的图象向右平移个单位长度后得到y＝3sin?2?x－?＋?，即y＝?2?3?3?2??

?3sin?2x－

?

2π?7ππ2ππ?π?的图象，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，化简可得x∈?＋kπ，＋kπ?，k∈Z，?3?12232?12?

2π?7π??π?2x－2π?在＋kπ?即函数y＝3sin ?2x－?的单调递增区间为?＋kπ，，k∈Z，令k＝0，可得y＝3sin??3?123???12???

?π7π?区间?，?上单调递增，故选B.

?1212?

→→→

11．D 【解析】由题意可得OP－OA＝AP＝λ?

?

??， ＋→·cos C??→

AC?AB·cos B?

→

AB→AC

||||→→→?→?AB·BCAC·BC→→?? ＋所以AP·BC＝λ

→·cos C??→·cos BABAC??

||||→→＋→?＝0，所以→＝λ?－AP⊥BC，即点P在BC边的高所在直线上，即点P的轨迹经过△ABC的垂BCBC??心，故选D.

二、填空题

12．π 【解析】(略)

1

13．－ 【解析】sin α＋cos β＝1，

2

两边平方可得：sin α＋2sin αcos β＋cos β＝1，①， cos α＋sin β＝0，

22

两边平方可得：cos α＋2cos αsin β＋sin β＝0，②，

由①＋②得：2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，即2＋2sin(α＋β)＝1， ∴2sin(α＋β)＝－1. 1

∴sin(α＋β)＝－. 2

2

2

||||

14.

17→→→→→?1?1?? 【解析】∵AB⊥AC，|AB|·|AC|＝1，建立如图所示坐标系，设B?，0?，C(0，t)， AB＝?，0?，8?t??t?

→→

AC11→→AB?1?1

AC＝(0，t)，AP＝＋＝t?，0?＋(0，t)＝(1，)，∴P(1，)，

→→44?t?4t|AB|4|AC|

?1?λ?－1?＝－1，???t?1?11?→→??∵P为线段BC上一点，∴可设PC＝λPB，从而有?－1，t－?＝λ?－1，－?，即?解之

4?4???t11

??t－4＝－4λ，

1

得t＝.

2

?1??1?∴B(2，0)，C?0，?.显然P?1，?为BC中点，∴点P为△ABC外接圆圆心．Q在△ABC外接圆上，又当AQ?2??4?

→＝17， 过点P时→有最大值为2AQAP2

||||

171717→→→此时AP与AQ夹角为θ＝0°，cos θ＝1.∴→＝×＝. AP·AQmax248

三、解答题

()

15．【解析】(1)由题意，cos α≠0，由

5sin α－cos α5tan α－1

＝1，可得＝1，

cos α＋sin α1＋tan α

1

即5tan α－1＝1＋tan α，解得tan α＝.(4分)

22tan α4

(2)由(1)得tan 2α＝＝， 21－tanα3π?tan 2α＋1?tan?2α＋?＝＝－7.(8分) 4?1－tan 2α?

16．【解析】(1)角α的终边过点(3，4)，∴r＝3＋4＝5， y4x3

∴sin α＝＝，cos α＝＝；

r5r5π??∴a·b＝2sin α＋sin?α＋?

4??＝2sin α＋sin αcos

ππ＋cos αsin 44

2

2

4423232

＝2×＋×＋×＝.(5分)

552522(2)若a∥b，则2sin αsin?a＋

?

?

π?＝1， 4??

ππ??即2sin α?sin αcos＋cos αsin?＝1，

44??∴sin α＋sin αcos α＝1， 22

∴sin αcos α＝1－sin α＝cos α， 对锐角α有cos α≠0， ∴tan α＝1， π

∴锐角α＝.(10分)

4

2

?π?2

17．【解析】(1)f(x)＝sin?－x?sin x－3cos x

?2?

＝cos xsin x－3

(1＋cos 2x) 2

π?1333?＝sin 2x－cos 2x－＝sin?2x－?－， 3?2222?2－3

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(6分)

2

ππππ5ππ?π2π?(2)当x∈?，?时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；≤3?3326122?62x－

π52π

≤π即π≤x≤时，f(x)单调递减． 3123

?π5π?上单调递增；在?5π，2π?上单调递减．(12分) 综上可知，f(x)在?，??12?3??612??

18.

149a2＋a20a1＋a21S21149

【解析】＝＝＝. 24b7＋b15b1＋b21T2124

2

x＋1＋2x＋sin x2x＋sin x2x＋sin x19．2 【解析】可以将函数式整理为f(x)＝＝1＋，不妨令g(x)＝，222

x＋1x＋1x＋1易知函数g(x)为奇函数关于原点对称，∴函数f(x)图象关于点(0，1)对称．若x＝x0时，函数f(x)取得最大值

M，则由对称性可知，当x＝－x0时，函数f(x)取得最小值m，因此，M＋m＝f(x0)＋f(－x0)＝2.

1

20．【解析】(1)如图，取PD中点M，连接EM、AM.由于E、M分别为PC、PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC，

2又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.

因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD.(5分)

(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，

得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM，又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．

依题意，有PD＝22，而M为PD中点，可得AM＝2，进而BE＝2.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝AB13＝，因此sin∠EBM＝. BE32

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为21．【解析】(1)∵在四边形ABCD中， AD∥BC，AB＝3，∠A＝120°，BD＝3.

2

3＋AD－9

∴由余弦定理得cos 120°＝，

2×3×AD解得AD＝3(舍去AD＝－23)， ∴AD的长为3.(5分)

1

(2)∵AB＝AD＝3，∠A＝120°，∴∠ADB＝(180°－120°)＝30°，又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°.

2

3

.(13分) 3

EMBE

＝