江苏省高考十年数学试题分类解析汇编专题4：三角函数

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【分析】（1）先根据向量的线性运算求出a?b?2c?a?b?2a?c?0，可求出???的正余弦之间的关系，最后可求正切值。

（2）根据向量的求模运算得到|b?c|的关系，然后根据正弦函数的性质可确定答案。 （3）将tan?tan??16化成弦的关系整理即可得到 ?4cos????4cos???sin??sin?，

正是a∥b的充要条件，从而得证。

6.（江苏2010年14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=?，∠ADE=?。

(1)该小组已经测得一组?、?的值，tan?=1.24，tan?=1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使?与?之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，?-?最大？

??【答案】解：（1）由

HhHH，同理：AB?，BD?。 ?tan?得AD?ADtan?tan?tan?－

AB=DB

，

故

得

∵ AD

HHh??tan?tan?tan?，解得：

H?htan?4?1.24??124。

tan??tan?1.24?1.20因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知d?AB，得tan??HHhH?h， , tan????dADDBdHH?h?tan??tan?hdhdtan(???)??d?2?1?tan??tan?1?H?H?hd?H(H?h)d?H(H?h)dddH(H?h)?2H(H?h)d。

∵

d?，（当且仅当

d?H(H?h)?125?121?555时，取等号），

∴当d?555时，tan(???)最大。

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∵0??????2，则0??????2，∴当d?555时，?－?最大。

故所求的d是555m。

【考点】解三角形的实际应用，两角差的正切及不等式的应用。 【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD?HH，在Rt△ADE中可得AB?，在Rt△BCD

tan?tan?中可得BD?h ，再根据AD－AB=DB即可得到H。 tan?（2）先用d分别表示出tan?和tan?，再根据两角和公式，求得

tan(???)?h，再根据均值不等式可知当d?555 时，tan(???)有最大值

H(H?h)d?d即tan(???)有最大值，得到答案。

7.（江苏2010年附加10分）已知△ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

b2?c2?a2【答案】证明：（1）设三边长分别为a,b,c，cosA?，

2bc∵a,b,c是有理数，∴b2?c2?a2是有理数， 2bc为正有理数。

b2?c2?a2又∵有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是

2bc有理数。

（2）①当n?1时，显然cosA是有理数，

当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，且cosA是有理数， ∴cos2A也是有理

数。

②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA

1?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]

211?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，

22∴cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A。

∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是

有理数。

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∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数n，cosnA也是有理数。

【考点】余弦定理的应用，余弦的两角和公式，数学归纳法。

【分析】（1）设出三边为a,b,c，根据三者为有理数可推断出b2?c2?a2是有理数，2bc是有

b2?c2?a2理数，从而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定

2bcb2?c2?a2理可知=cosA，因此cosA是有理数。

2bc（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的

二倍角推断出cos2A也是有理数。再假设n?k(k?2)时，结论成立，从而可知coskA，

cos(k?1)A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos(k?1)A，根据cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数推断出是有理数2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数，即cos(k?1)A是有理数。从而n?k?1时成立．最后综合原式得证。

8.（江苏2011年14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A??61（2）若cosA?,b?3c，求sinC的值.

3【答案】解：（1）由题意知sinAcos)?2cosA, 求A的值；

?6?cosAsin?6?2cosA，从而sinA?3cosA，

∴cosA?0, tanA?3。 ∵0?A??，∴A??3。

（2）由cosA?, b?3c，及a2?b2?c2?2bccosA，得b2?a2?c2， ∴?ABC是直角三角形，且B?13?2。∴sinC?cosA?1。 3【考点】同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理。

【分析】（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可。

（2）利用余弦定理以及b?3c，求出?ABC是直角三角形，即可得出sinC的值。也

122cc22，而sinA?1?cos2A??,?sinC?。

3sinAsinC39.（2012年江苏省14分）在?ABC中，已知ABAC?3BABC．

可以由正弦定理得：▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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（1）求证：tanB?3tanA； （2）若cosC?5，求A的值． 5【答案】解：（1）∵ABAC?3BABC，∴ABACcosA=3BABCcosB，即

ACcosA=3BCcosB。

ACBC=，∴sinBcosA=3sinAcosB。 sinBsinAsinBsinA=3 又∵00，即 cosB>0。∴

cosBcosA 由正弦定理，得

tanB?3tanA。

?5?255= （2）∵ cosC?。∴tanC?2。 ，0

1?tanAtanB4tanA1??2tanA=1 tan，A=? 由 （1） ，得，解得。

1?3tan2A3 ∴tan?????A?B????2，即tan?A?B???2。∴ ∵cosA>0，∴tanA=1。∴A=?。 4【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 【解析】（1）先将ABAC?3BABC表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

（2）由cosC?5，可求tanC，由三角形三角关系，得到tan?????A?B???，从而5根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。

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