江苏省高考十年数学试题分类解析汇编专题4：三角函数

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依题设0????,所以解得???2.3?3??x)??f(?x),443?3???3??取x?0,得f()?sin(?)?cos,44243?3???3???f()?sin(?)?cos,44243??3????cos?0,又??0,得??k?,k?1,2,3,?,4422???(2k?1),k?0,1,2,?.322??当k?0时,??,f(x)?sin(x?)在[0,]上是减函数;3322由f(x)的图象关于点M对称,得f(当k?1时,??2,f(x)?sin(2x?当k?0时,???)在[0,]上是减函数;22?10??,f(x)?sin(?x?)在[0,]上不是单调函数;322 2所以,综合得??或??2.3【考点】三角函数模型的应用问题。

【分析】由f(x)是偶函数可得?的值，图象关于点M(3?,0)对称可得函数关系4f(3?3??x)??f(?x)，可得?的可能取值，结合单调函数可确定?的值。 44παα5π，tan+cot=，求sin(α?)的值. 222232.（江苏2004年12分）已知0<α<【答案】解：由已知tan?2?2?cot?2?254?,得sin??。 sin?253。 50???, ?cos??1?sin2??∴sin(???3)?sin??cos?3?cos??sin?3

?41331????(4?33)。 525210【考点】弦切互化，两角差的正弦函数。 【分析】根据tan?2?cot?2?2求得sin?的值，从而根据α的范围求得cos?的值，最后sin?根据两角和公式求得答案。

3.（江苏2008年14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角?，?，

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它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是（1）求tan(???)的值； （2）求??2?的值．

225，． 105y A B O x 【答案】解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知cos??225， ,cos??10572。 10∵?为锐角故sin??0，∴sin??1?cos2??同理可得 sin??1?cos2??∴tan??7, tan??5。 51。 21tan??tan?2??3。 ∴tan(???)=?1?tan??tan?1?7?121?3?2??1, （2）tan(??2?)?tan[(???)??]?11?(?3)?2??3?又0???,0???,故0???2??,

2223?∴由 tan(??2?)??1，得 ??2??。

47?【考点】两角和与差的正切函数。 【分析】（1）先由已知条件得 cos??225；再求sin?、sin?，从而求出,cos??105tan? 、 tan?；

最后利用tan(???)=

tan??tan?解之。

1?tan??tan?（2）利用（1）把tan(??2?)转化为tan[(???)??]求之，再根据??2?的范围

确定角的值。

4.（江苏2008年14分）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三

A ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

D P O C B

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家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm． （1）按下列要求建立函数关系式：

（Ⅰ）设?BAO??（rad），将y表示成?的函数；

（Ⅱ）设OP?x（km），将y表示成x的函数；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

【答案】解：（1）（Ⅰ）延长PO交AB于点Q，由条件知PQ 垂直平分AB，

若∠BAO=?(rad) ，则OA?∴OB?又

∴y?OA?OB?OP?AQ10, ?cos?cos?10。 cos?OP

＝

10?10tan?，

1010??10?10tan?。 cos?cos?20?10sin?????10?0????。

cos?4??∴所求函数关系式为y?（Ⅱ）若OP=x(km) ，则OQ＝10－x， ∴OA =OB=?10?x?2?102?x2?20x?200。

2∴所求函数关系式为y?x?2x?20x?200?0?x?10?。 （2）选择函数模型（Ⅰ），

y'?'?10cos?cos???20?10sin????sin??10?2sin??1?， ?22cos?cos?1。 2令y?0 得sin ??∵0???当???0,?4，∴?=

'?6。

????6??时，y?0 ，y是?的减函数；当???????,?时，y'?0 ，?64?y是?的增函数

∴当?=

?6时，ymin?10?103。

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这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边处。

【考点】在实际问题中建立三角函数模型。

103km3【分析】（1）（Ⅰ）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围。（Ⅱ）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式。

（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合。 5.（江苏2009年14分）设向量a?(4cos?, sin?), b?(sin?, 4cos?), c?(cos?, ?4sin?)1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； 2）求|b?c|的最大值; 3）若tan?tan??16，求证：a∥b. 【答案】解：（1）∵a与b?2c垂直，∴a?b?2c?a?b?2a?c?0 即4cos?（sin??2cos?）?sin?（4cos??8sin?）?0， 即

。 sin?cos??cos?sin??2（cos?cos??sin?sin?）,sin（???）?2cos（???） ∴tan(???)? ??sin（???）?2。

cos（???） （2）∵b?c? (sin??cos?)2?(4cos??4sin?)2

?1?2sin?cos??16?32cos?sin??17?15sin2?

∴当sin2???1时，|b?c|取最大值，且最大值为17?15?32?42。

sin?sin?（3）∵tan?tan??16，∴ sin?sin??16cos?cos? ??16，即 cos?cos?∴ ?4cos????4cos???sin??sin?，即a?(4cos?, sin?)与b?(sin?, 4cos?)共线。

∴a∥b。

【考点】向量的基本概念，同角三角函数的基本关系式，二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式。

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