北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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（1）根据题意列方程组

{??=2,19

，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标； ??

2+4??

2=1

（2）讨论直线??的斜率，利用?????????? ，?????

????? 是平行的证明??，??，??三点共线． 【详解】（1） 因为点??(?1,3

2)在椭圆??上，且椭圆??的一个顶点??的坐标为(?2,0)， 所以{??=2,1

??2+9

解得{??=2,=√3. 4??2=1.??所以椭圆??的方程为

??24

+

??23

=1．

所以椭圆??的右焦点??的坐标为(1,0)．

（2）① 当直线??的斜率不存在时，直线????的方程为??=1． 显然，??(1,3

3

3

3

2)，??(1,?2)或??(1,?2)，??(1,2)．

当??(1,3

3

1

2)，??(1,?2)时，直线????的方程为??=2(??+2)，点??的坐标为(4,3)． 所以??????=1．

直线????的方程为??=?(???1)，点??的坐标为(4,?3)． 则?????????? =(3?,??32)，?????????? =(6,?3)． 所以?????????? =2?????????? ，所以??，??，??三点共线． 同理，当??(1,?3

3

2)，??(1,2)时，??，??，??三点共线． ② 当直线??的斜率存在时，设直线??的方程为??=??(???1)． 由{??=??(???1),3??2+4??2=12

得(3+4??2)??2?8??2??+(4??2?12)=0． 且??=(?8??2)2?4(3+4??2)(4??2?12)>0．

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设??(??1,??1)，??(??2,??2)，则??1+??2=直线????的方程为??=??

6??1

?0??1+28??23+4??2

，??1??2=

4??2?123+4??2

．

??1

1

(??+2)，点??的坐标为(4,+2

6??1

??1+2

)．

所以??????=

4?1

=

2??1

??1+2

．

直线????的方程为??=?

??1+22??1

(???1)，点??的坐标为(4,?

3(??1+2)2??1

)．

?????? =(6,?3(??1+2))． ????? =(??2+2,??2)，????则?????2??1所以(??2+2)?

32??1

?3(??1+2)2??1

?6??2

=?

[(??1+2)(??2+2)+4??1??2]，

=?

32??1

[(??1+2)(??2+2)+4??2(??1?1)(??2?1)]，

=?2??[(1+4??2)??1??2+(2?4??2)(??1+??2)+4??2+4]，

1

3

=?

32??1

[(1+4??2)

4??2?123+4??2+(2?4??2)

8??23+4??2+4??2+4]，

=?

32??1

?

(1+4??2)(4??2?12)+(2?4??2)8??2+(4??2+4)(3+4??2)

3+4??2，

=?

32??1

?

4??2?12+16??4?48??2+16??2?32??4+12??2+12+16??4+16??2

3+4??2

=0．

????? 与?????? 共线， 所以?????????所以??，??，??三点共线． 综上所述，??，??，??三点共线．

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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21.已知函数??(??)=(sin??+??)ln??，??∈??． （1）若??=0.

（ⅰ）求曲线??=??(??)在点(?2?,???(2)?)处的切线方程； （ⅱ）求函数??(??)在区间(?1?,????)内的极大值的个数． （2）若??(??)在(2,??)内单调递减，求实数??的取值范围．

【答案】（1）（ⅰ）2??????????+??ln2=0；（ⅱ）1；（2）(?∞,?1]． 【解析】 【分析】

（1）（ⅰ）求出导函数，得到??′(2)与??(2)，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数在区间(?1?,????)内单调性，结合极值的定义得到答案； （2）由题可知??′(??)=?1，

结合函数的单调性与极值即可得到实数??的取值范围． 【详解】（1）（ⅰ）因为??(??)=sin??ln??， 所以??′(??)=cos??ln??+

??

??

sin????sin??+????

??

????

??

??

??

+cos??ln??，其中??∈(2,??)，分两类情况：??≤?1与??>

??

，??′(2)=??．

??2

又因为??(2)=ln2，

所以曲线??=??(??)在点(2,??(2))处的切线方程为???ln2=??(???2)， 化简得2??????????+??ln2=0．

（ⅱ）当??∈(1,2)时，??′(??)>0，??(??)单调递增，此时??(??)无极大值．

??

????

??

??

2

??

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当??∈(2,??)时，设??(??)=??′(??)，则??′(??)=?sin??ln??+所以??′(??)在(2,??)内单调递减．

又因为??′(2)=??>0， ??′(??)=?ln??<0，

??

2??

??2cos????

?

sin????2

<0，

所以在(2,??)内存在唯一的??0∈(2,??)，使得??′(??0)=0． 当??变化时，??′(??)，??(??)的变化如下表

??(,??0) 2????

?? ??0 (??0,??) ??′(??) + 0 ? ??(??) ↗ ↘

所以??(??)在(1,??0)内单调递增，在(??0,??)内单调递减，此时??(??)有唯一极大值． 综上所述，??(??)在(1,??)内的极大值的个数为1． （2） 由题可知??′(??)=

sin??+????

+cos??ln??，其中??∈(2,??)．

??

??

当??≤?1时，??′(??)<0，故??(??)在(2,??)内单调递减； 下面设??>?1．

对于???∈(2,??)，ln??2cos??． 所以当??∈(2,??)时，??′(??)>

??

sin??+????

sin??+??+2??cos??

??

??

+2cos??=

．

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