北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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（人），

得分落在组(20,40]的人数有0.0075×20×20=3（人）．

所以所抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人． （2）??的所有可能取值为0，?1，2． ??(??=0)=??3=10， ??(??=1)=

53??3

1

1??2??233??5

=10， ??(??=2)=

6

2??1??233??5

=10．

3

所以??的分布列为

?? 0 1 2 ?? 1 106 103 10

所以??的期望????=0×10+1×10+2×10=1.2． （3）答案不唯一．

答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是(4)20，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分． 答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：

该选手获得100分的概率是(4)20，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.

11

1

6

3

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19.如图，在四棱锥???????????中，底面????????是边长为2的菱形，∠??????=， ????⊥平面??

3????????，????=3，????=2????，??为????的中点．

（1）求证：????⊥????；

（2）求异面直线????与????所成角的余弦值；

（3）判断直线????与平面??????的位置关系，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）√55；（3）相交，理由见解析．

【解析】 【分析】

（1）根据题意先证明????⊥平面??????，即可得到答案；

（2）以??为坐标原点，以????为??轴，以????为??轴，以过点??且与????平行的直线为??轴，建立空间直角坐标系?????????，求出????????? 、????? ????的坐标，利用公式即可得到结果； （3）求出平面??????的一个法向量与向量????????? ，根据????????? ?n? 与零的关系，作出判断. 【详解】（1）连结????．

因为底面????????是菱形 ，所以????⊥????. 又因为????⊥平面????????，?????平面????????，

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所以????⊥????. 又因为????∩????=??， 所以????⊥平面??????. 又因为?????平面??????， 所以????⊥????. （2）设????，????交于点??. 因为底面????????是菱形 ， 所以????⊥????， 又因为????⊥平面????????， 所以????⊥????，????⊥????.

如图，以??为坐标原点，以????为??轴，以????为??轴，以过点??且与????平行的直线为??轴，建立空间直角坐标系?????????，

则??(0,?1,0)，??(√3,0,0)，??(0,1,0)，??(?√3,0,0)， ??(?√3,1

22,0)，??(0,?1,3) ，

??(0,?1,1).

则????????? =(√3,1,0)，????? ????=(√3,?1,1)，

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设异面直线????与????所成角为??，则??∈(0,2]， ????? ,????? cos??=|cos??????????|=

??????? ?????|??????? |????

????? |?|????????? ||????

??

=

√5， 5

5所以????与????所成角的余弦值为√.

5

（3）直线????与平面??????相交.证明如下：

???? =(√,?,1)，????????? =(?√3,1,0)，????????? =(?√3,?1,3)， 由（2）可知，?????22? =(??,??,??)， 设平面??????的一个法向量为n

????? =0, ?√3??+??=0, ???????

即 {则{令??=√3，得n? =(√3,3,2)．

????? =0,?√3?????+3??=0,???????

3√3????? ?n则????? =(,?,1)?(√3,3,2)≠0，

2

2

33

所以直线????与平面??????相交．

【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

??2

??2

3

20.已知椭圆??:2+2=1(??>??>0)过点??(?1?,?2)，且椭圆??的一个顶点??的坐标为

????

(?2?,?0)．过椭圆??的右焦点??的直线??与椭圆??交于不同的两点??，??（??，??不同于点??），直线????与直线??：??=4交于点??．连接????，过点??作????的垂线与直线??交于点??． （1）求椭圆??的方程，并求点??的坐标； （2）求证：??，??，??三点共线．

??24

??23

【答案】（1）

+（2）证明见解析. =1，(1,0)；

【解析】 【分析】

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