北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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若存在??0∈(?∞,??]，使得??(??0)≥4√3，则??≥故答案为：[

10??3

10??3

，

,+∞)

【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．

16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度??（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度??对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量??满足关系式：??=??1??(??1??+2)，其中玻璃的热传导系数??1=4×10?3焦耳/（厘米?度），不流通、干燥

??2??|????|

空气的热传导系数??2=2.5×10?4焦耳/（厘米?度）， ????为室内外温度差．??值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：

每层玻璃厚度?? 型号 （单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度?? （单位：厘米） A型 0.5 3 B型 0.5 4 C型 0.6 2 D型 0.6 3 则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型． 【答案】?? 【解析】 【分析】

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分别计算4种型号的双层玻璃窗户的??值，根据??值越小，保温效果越好．即可作出判断.

????

2

【详解】A型双层玻璃窗户：??(??1??+2)=0.5(2.5×10?4×0.5+2)=49，

??1??

4×10?3×3

B型双层玻璃窗户：??(

??2??

+2)=0.5(2.5×10?4×0.5+2)=65， +2)=0.6(

4×10?3×2

4×10?3×4

C型双层玻璃窗户：??(

??1??

??2??

2.5×10?4×0.6

+2)=33.2，

D 型双层玻璃窗户：??(

|????|

??1??

??2

+2)=0.6(2.5×10?4×0.6+2)=49.2， ??

4×10?3×3

根据??=??1??(??1??+2)，且??值越小，保温效果越好．

??2??

故答案为：B

【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.

三、解答题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

17.已知函数??(??)=√3sin2??+2cos2??+????(??∈??)． （1）求??(??)的最小正周期； （2）求??(??)的单调递增区间；

（3）对于任意??∈[0,2]都有??(??)<0恒成立，求??的取值范围． 【答案】（1）??；（2）[?3+?????,?6+????]?(??∈??)；（3）(?∞,?3) 【解析】 【分析】

（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T； （2）由三角函数的图象与性质即可求函数f（x）的单调递增区间；

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??

??

??

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（3）原问题等价于??(??)最大值小于零. 【详解】（1）因为??(??)=√3sin2??+2cos2??+?? =√3sin2??+cos2??+??+1， =2sin(2??+6)+??+1. 所以??(??)的最小正周期??=

??

（2）由（1）知??(??)=2sin(2??+6)+??+1．

又函数??=sin??的单调递增区间为[?π+2????,??π+2????](??∈Z)．

2

2

由?2+2????≤2??+6≤2+2????，??∈??， 得?3+????≤??≤6+????，??∈??．

??

??

??

??????

的2??2

=π．

??

所以??(??)的单调递增区间为[?3+?????,?6+????]?(??∈??). （3）因为0≤??≤2，所以6≤2??+6≤

1

????

??

??

7??6

??

.

??

所以?2≤sin(2??+6)≤1.所以??≤2sin(2??+6)+??+1≤??+3. 当2??+6=2，即??=6时，??(??)的最大值为??+3，

又因为??(??)<0对于任意??∈[0,2]恒成立，所以??+3<0，即??

【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．

18.某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每

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位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：

（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；

（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以??表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求??的分布列和数学期望；

（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．

【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；

（2）??的所有可能取值为0，?1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望； （3）该选手获得100分的概率是(4)20，结合此数据作出合理的解释.

【详解】（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有0.0050×20×20=2

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