第三章 解题技巧 §1合理选择研究对象，尽可能地减少中间未知量

要求出a1和a2，必须求出x。这时把m2作为研究对象，当它以ω旋转时，有：

kx?m2?2?l1?l2?m2?2?l1?l2? x?k如果选择m1为研究对象，则：

T?kx?m1?2l1

可要求出x还得求T，多了一个中间未知数，所以为了求出a1和a2，将m2为研究对象为宜。

［解］在连线烧断瞬间，有：

kx?m1a2kx?m2a2kx?m2?2?l1?l2?m2?2?l1?l2?a1?m1m2?2?l1?l2?a2???2?l1?l2?m2［例5］如图3-1-6所示，两板m1?5kg、m2?10kg，铅球的质量M?20kg。设绳子不伸长，绳子、滑轮的质量及一切摩擦不计。试求铅球的加速度。

［分析］因为绳子不伸长，绳子、滑轮的质量及一切摩擦不计，因此，铅球与两板的加速度是相等的，而且可以将问题简化：

为了求出M的加速度，将M隔离，它受两个张力和一个重力，列出运动方程，式中除了加速度外，两个张力是中间未知量，为此还得将m1、m2分别隔离出来再列出两个方程。这样三个方程联立求得：a?

Mg20??10?5.7?m/s2?

m1?m2?M20?10?5由上式可以得到启发：为了求a，可将m1?m2?M整体看成一个系统，该系统只受重力Mg (张力是内力) 的作用，帮按牛顿第二定律即可得上式。

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［例6］质量为M的物体A在离平板B为h高度处自由下落，打在B上，B的质量与A相等，B装置在弹性系数为K的弹簧上。设A与B发生完全非弹性碰撞。试求碰撞后弹簧被 压缩的长度S (图3-1-7)。

［解法一］该题分为三个物理过程： ① A自由下落过程：

选择A与地球为系统，因为外力功A外=0，非保守内力功

A内=0，所以系统的机械能守恒：

12mgh=mv0

2v0?2gh② A与B发生完全非弹性碰撞过程：

(1)

选择A、B为研究系统。由于A、B碰撞时的冲击力(内力)比重力、弹簧对B的竖直作用力(外力大得多，故有

?F外?0，据此系统满足动量守恒定律：

?M?M?V?Mv0③ A、B一起作简谐振动过程：

(2)

取A、B、弹簧、地球为研究对象。因为A外=0，A内=0，所以系统满足机械能守恒定律。如取最低点R为重力势能的零点、取弹簧的自由长度为弹性势能的零点。则：

11?M?M?V2?kx02??M?M?gs22

12E2?k?x0?s?2E1?式中x0为A未与B碰撞前对弹簧的压缩量，满足Kx0?Mg

E1?E2

?KS2?2MgS?Mgh?0

解此方程有： S?Mg??Mg?k2?Mgkh 6

取“+”得： S?Mg??Mg?k2?Mgkh ［解法二］ 第一、第二过程同上，得A、B的共同速度为：

V?第三过程用简谐振动知识解：

12gh 2简谐振动过程中，满足机械能守恒定律，选O点为平衡位置，则系统的总势能为故有：

12kx。2111?2M?V2?kx2?R2OR2 222式中x?Mg考虑到式(1)，有： kOR?1K?Mg?2?Mgkh 因此弹簧的总压缩量为：

S?x?OR?1Mg?k??Mg?2?Mgkh

?［例7］有容积为1升和2升的容器在各一个，内储空气，并用一毛细管相连接。最初把这两个容器浸在0C的水中，最后把2升的容器用1000C的水蒸汽包围(1升容器的温度不变)。如果两的初审取初压强都为1atm。问最后压强多大？(设容器的膨胀、毛细管的传热都忽略不计)。

［解法一］设两容器中空气的初始质量分别为M1、M2，压强为P1，温度为T1，根据理想缸体状态方程有：

0?PV11?PV12?M1?M2RT1

?RT2?M1??M2??P1?V1?V2??(1)

?、M2?，温度分别为T1?和当两升的容器外面用蒸汽包围后，设两容器内气体分别为M1T2?，压强都为P2。则

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PV11?PV12?M1?RT1???RT2?M2

?(2)

?M1????M2?VV??P2?1?2???RT1?RT2????M2??M1?M2 M1P?VV?1?V1?V2??P2?1?2? RT1?RT1?RT2??即 P2?P1?V1?V2??VV?T1?1?2??V1?V2??

T2/?T

1?1?2??P2??1.21atm

2??1273???273273??在上述解题过程中，理想气体状态方程对两个容器的始末状态各用两次，加上质量守恒，共得五个方程。五个方程中有五个未知数都可以求出。但是，其中只有一个P2是题目要求的，其它四个都是中间未知量。能否通过合理选择研究对象，将中间未知量减少呢？ ［解法二］设两个容器中的气体分子数为N，根据理想气体状态方程有：

P1?V1?V2??NkT1

?N?P1?V1?V2?kT(1)

分别对两个容器的末状态应用理想气体状态方程有：

PV22?N1kT1(2)(3)PV21?N2kT2??N?N1?kT2由式(1)至(3)并注意到N?N1?N2得：

P2??V1?V2??VV?T1?1?2??T1T2?8

?1.21?atm?

四个方程中有四个未知数，因此方程也解出来了。但四个未知数中，还有两个是中间未知量。能设法进一步减少方程和中间未知量吗？ ［解法三］假设所研究的对象是图3-1-8中大容器画阴影的部分和小容器的全部，对于画阴影部分的气体来说，体积从V2?2??V，膨胀为2升，压强从P温度从T1?273K1?1atm变为P2，增加到T2?373K，于是根据理想气体状态方程有：

PP?21?2??V??2273373(1)

对于剩下的那部分气体，其初状态为：P1?1atm,T1?273K,V1?1??V；末状态为：

T2?T1273K,V2?1升,P2??。于是根据玻意耳—马略特定律有：

1??1??V??P2?1联立(1)、(2)两式即可得：P2?1.21?atm?

(2)

方程的未知数越少，解题越方便。能否只列出一个方程就把P2这个未知数求出来？ ［解法四］把大容器整个系统作为研究对象。初状态为P1、V1?V2、T1；末状态分为两部分，其压强都为P2，温度和体积分别为V1、T2、V2、T1。则因为质量没有变化，故有：

P1?V1+V2?V1P2V2P2?VV?=+=P2?1+2?

T1T1T2?T1T2??P2=1.21?atm?

由上可见：解法一对四个状态分别加以考虑得四个方程：解法二把大小容器的初状态作为整体来考虑，方程和中间未知量少了一个；解法三，巧妙地选取了两部分质量的气体，且应用的不是气体状态方程，而是状态变化过程的方程。因此，方程和中间未知量进一步减少了。解法四，则发挥了解法三的思想，把大小容器整体作为对象，而且也用状态变化过程的方程，因此应用解法四最简单。

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