普通高等学校招生全国统一考试数学卷（海南、宁夏 理）含答案

．（本小题满分12分）

如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为

mnS，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷

D 10000个点，以X表示落入M中的点的数目．

C

（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(?0.03，????)内的概率．

kM 附表：P(k)?k ?Ct?0t10000?0.25?0.752424 t10000?t

2425 2574 0.9570 A B

2575 0.9590 P(k) 0.0403 0.0423 21．（本小题满分12分） 设函数f(x)?ln(x?a)?x2

（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于lne2．

22．请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

P 如图，已知AP是?O的切线，P为切点，AC是?O的割线，与?O交于B，C两点，圆心O在?PAC的内部，点M是BC的中点．

（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆； （Ⅱ）求?OAM??APM的大小．

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

?O1和?O2的极坐标方程分别为??4cos?，???4sin?．

A O B M C （Ⅰ）把?O1和?O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过?O1，?O2交点的直线的直角坐标方程．

22．Ｃ（本小题满分10分）选修4?5；不等式选讲

f(x)?2x?1?x?4．

（I）解不等式f(x)?2； （II）求函数y?f(x)的最小值．

2007年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1．Ｃ 7．Ｄ

2．Ｄ 8．Ｂ

3．Ａ 9．Ｃ

4．Ｄ 10．Ｄ

5．Ｃ 11．Ｂ

6．Ｃ 12．Ｂ

二、填空题

13．3 14．?1 三、解答题

15．1?2i

16．240

17．解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得

BCsin?BDC?CDsin?CBD．

所以BC?CDsin?BDCsin?CBD?s·sin?sin(???)．

在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?18．证明：

s·tan?sin?sin(???)．

S

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA?OB?OC?22SA，且

O B A M

AO?BC，又△SBC为等腰三角形，故SO?BC，且

C

SO?22SA，从而OA?SO?SA．

222所以△SOA为直角三角形，SO?AO．

又AO?BO?O．

所以SO?平面ABC． （Ⅱ）解法一：

，OM取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO?OM?S，CA?M．S

O，C?SAA得，

为二面角A?SC?B的平面角．

由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC．

∴?所以AO?OM，又AM?32SA，

故sin?AMO?AOAM?23?63．

所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：

33．

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系

O?xyz．

设B(1，0，0)，则C(?1，0，0)，A(0，1，0)，S(0，0，1)．

??????1?1??????11????1??1SC的中点M??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)． 0，?，MO??，222222???????????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0．

z S 故MO?SC，MA?SC，

A?SC????????????????????????MO·cos?MO，MA???????MO·B的平面角．

????MA3， ?????3MAM O C

A 所以二面角A?SC?B的余弦值为

33．

x B y 19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y?kx?x22，

代入椭圆方程得

2?(kx?2)?1．

2整理得??12?2?k?x?22kx?1?0 ① ?2?直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于??8k2?4??12?2?k??4k?2?0， ?2?k??22或k?22．即k的取值范围为??∞，?????2??2??，?∞?． ????2??2?????????（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)，

42k1?2k2由方程①，x1?x2??． ②

又y1?y2?k(x1?x2)?22． ③ 而A(2，0)，B(0，，1)AB?(?2，1)．

????????????所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)，

????将②③代入上式，解得k?22．

由（Ⅰ）知k?? 20．解：

22或k?22，故没有符合题意的常数k．

每个点落入M中的概率均为p???1?4?14．

依题意知X~B?10000，?． （Ⅰ）EX?10000?14?2500．

（Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03?????4?1?0.03?，

10000?XX??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575)

10000??2574??t?24262574C10000?0.25?0.75tt10000?t

2425??t?2426Ct10000?0.25?0.75t10000?t??Ct?0t10000?0.25?0.75t10000?1

?0.9570?0.0423?0.9147．

21．解：