江苏省2020届高考数学二轮复习 专题十五 附加题23题 苏教版

2

x21－02－x1故＝，即x2＝－x1－1. x2－x1－1－0

直线OP方程为y＝x1x.①

－x1－1－1

直线QA的斜率为＝－x1－2，

－x1－1＋1∴直线QA方程为y－1＝(－x1－2)(x＋1)， 即y＝－(x1＋2)x－x1－1.②

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联立①②，得x＝－，∴点M的横坐标为定值－.

22由S△PQA＝2S△PAM，得到QA＝2AM，因为PQ∥OA， 所以OP＝2OM，

2

uuuruuuur由PO＝2 OM，得x1＝1，∴P的坐标为(1,1)．

∴存在点P满足S△PQA＝2S△PAM，P的坐标为(1,1)．

8.(2020·徐州一模)如图，过抛物线C：y＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求y1＋y2的值；

(2)若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．

解：(1)因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：

2

y2＝4x上，

?y1??y2?所以A?，y1?，B?，y2?， ?4??4?

y1＋24y1＋24kPA＝2＝＝，

y1y2y1－21－4

4－1

4

，依题有kPA＝－kPB， y2－2

22

同理kPB＝所以

44＝－，即y1＋y2＝4. y1－2y2－2

(2)由(1)知kAB＝

y2－y1

＝1，设AB的方程为 2

y2y21

4－4

y－y1＝x－，即x－y＋y1－＝0，

4

4

y21y21

P到AB的距离为d＝

?3＋y1－y1?

?4???

2

2

，

?y1y2?AB＝2?－?＝2|y1－y2|＝22|2－y1|， ?44?

?3＋y1－y1???4?1?

2

2

22

所以S△PAB＝×2

×22|2－y1|

12

＝|y1－4y1－12||y1－2| 412

＝|(y1－2)－16||y1－2|， 4

13

令y1－2＝t，由y1＋y2＝4，y1≥0，y2≥0，可知－2≤t≤2.S△PAB＝|t－16t|，

413

因为S△PAB＝|t－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，

4

记f(t)＝|t－16t|＝16t－t，f′(t)＝16－3t>0，故f(t)在[0,2]是单调增函数，故

3

3

2

f(t)的最大值为f(2)＝24，故S△PAB的最大值为6.