江苏省2020届高考数学二轮复习 专题十五 附加题23题 苏教版

∴cos〈n2，n3〉＝

n2·n3

＝

|n2||n3|

n＋1m311

＝.

11n＋1??

?m?2＋2??

∴?

?n＋1?2＝9.

??m?

uuuur∴n＋1＝3m或n＋1＝－3m(舍去)．∴AM＝(m,3m,0)． uuur又AB＝(1,1,0)，

uuuuruuur?m，3m，0·1，1，0?25

∴cos〈AM，AB〉＝??＝5. 2

10m·2??

uuuuruuur5

则sin〈AM，AB〉＝，

3

∴d＝AB·

510＝. 55

10

. 5

∴B点到AM的最小值为垂直距离d＝

考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键． [演练2]

(2020·苏北四市二模)在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1中，D1P⊥平面PCE.

(1)试求：线段D1P的长；

(2)直线DE与平面PCE所成角的正弦值．

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)， E(2,1,0)，C(0,2,0)．

uuuur设P(x，y,2)，则D1P＝(x，y,0)， uuurEP＝(x－2，y－1,2)， uuurEC＝(－2,1,0)．

因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP.

uuuuruuuuuuuruuurrD1P⊥EC.所以D1P·EP＝0，D1P·EC＝0，

??xx－2＋y故?

?－2x＋y＝0.?

y－1＝0，

??x＝0，

解得?

?y＝0?

4

x＝，??5

(舍去)或?8

y＝??5.

?48?即P?，，2?，

?55?

uuuur?48?

所以D1P＝?，，0?，所以D1P＝?55?

166445＋＝. 25255

uuuur?48?uuuuruuur(2)由(1)知，DE＝(2,1,0)，D1P＝?，，0?，D1P⊥平面PEC，设DE与平面PEC所

?55?uuuuruuur?D1P·DE?uuuuruuur?uuuuruuur?＝成角为θ，D1P与DE所成角为α，则sin θ＝|cos α|＝

?| DP||DE|?

1??

4

＝. 5

4

所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为.

5

[专题技法归纳]

(1)抛物线与直线的位置关系中重点考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关系，熟练掌握抛物线的几何性质，利用几何性质解决问题较为简单；

(2)空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示、向量运算、平面的法向量、空间角及距离的计算．对于点的位置的探索问题，可以利用向量共线定理设元确定．

1655·8025

1.(2020·苏北四市三模)在三棱锥S—ABC中，底面是边长为23的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点，侧棱SA和底面成45°角．

(1) 若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BD⊥AC； (2) 求二面角S—AC—B的余弦值大小．

解：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系．因为△ABC是边长为23的正三角形，又SA与底面所成角为45°，所以∠SAO＝45°.所以SO＝AO＝3.

所以O(0,0,0)，C(3，0,0)，A(0,3,0)，S(0,0,3)，B(－3，0，0)．

SDDAuuur22??

(1)设AD＝a，则D?0，3－a，a?，所以BD＝

22??

22??

?3，3－a，a?，

22??

uuuruuuuuurr2??

AC＝(3，－3,0)．若BD⊥AC，则BD·AC＝3－3?3－a?＝0，

2??

解得a＝22，而AS＝32，所以SD＝2.

SD21

所以＝＝.

DA222

uuuruuur(2)因为AS＝(0，－3,3)，BC＝(23，0,0)．

设平面ACS的法向量为n1＝(x，y，z)，

uuur?n1·AC＝x，y，z·3，－3，0＝3x－3y＝0，则?uuur?n1·AS＝x，y，z·0，－3，3＝－3y＋3z＝0，

令z＝1，则x＝3，y＝1，所以n1＝(3，1,1)． 而平面ABC的法向量为n2＝(0,0,1)， 所以cos〈n1，n2〉＝

3×0＋1×0＋1×11＋1＋

2

2

35. 5

2

·1

＝

15

，显然所求二面角的平面角为锐角，

故所求二面角的余弦值的大小为

2.(2020·镇江5月)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是AC的中点，

E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.

(1)若λ＝1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值； (2)若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．

ruuuruuuruuuu解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1为单位正

交基底建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

?11??111?则A(1,0,0)，O?，，0?，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E?，，?， ?22??442?

uuur?111?uuuur于是DE＝?，，?，CD1＝(0，－1,1)．

?442?

uuuruuuuruuuruuuur3DE·CD1ruuuur＝. 由cos〈DE，CD1〉＝uuu| DE|·| CD1|6

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为

3. 6

(2)设平面CD1O的向量为m＝(x1，y1，z1)，

uuuruuuur由m·CO＝0，m·CD1＝0，

11??x1－y1＝0，

2得?2??－y1＋z1＝0，

取x1＝1，得y1＝z1＝1，

即m＝(1,1,1)． 由D1E＝λEO，则E?

λλ1??，，，

21＋λ1＋λ??21＋λ?

uuur?λλ1

DE＝?21＋λ，21＋λ，1＋λ??.

??

又设平面CDE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，

uuuruuur由n·CD＝0，n·DE＝0.