江苏省2020届高考数学二轮复习 专题十五 附加题23题 苏教版

江苏省2020届高考数学（苏教版）二轮复习专题15 附加题23

题

1江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B级要求，2020年、2020年高考中均没有考查，预测2020年高考中可能会考查；

2江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是B级要求，2020年、2020年、2020年高考没有考查，2020年高考考查空间角的概念，求线段的长.预测2020年高考会考查.

[典例1]

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上． (1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过焦点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．

[解] (1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y＝2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1.因此，抛物线C的标准方程为y＝2x.

2

2

2?1?(2)由(1)可得焦点F的坐标是?，0?，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线2?2?的斜率为－1.

1

因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.

2

(3)法一：设点D和E的坐标分别为(x1， y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，

k≠0.

将x＝＋m代入y＝2x，有ky－2y－2km＝0， 1±1＋2mk解得y1,2＝.

2

yk22

k由ME＝2DM，知1＋1＋2mk＝2(1＋2mk－1)， 42

化简得k＝，因此

22

mDE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝?1＋2?(y1－y2)2

?k?

1?41＋2mk292?＝?1＋2?＝(m＋4m)． 2

k4?k?

32

所以f(m)＝ m＋4m(m>0)．

2

?

1?

?s??t?法二：设D?，s?，E?，t?， ?2??2?uuuruuuur由点M(m,0)及ME＝2DM得

12?s?t－m＝2?m－?，t－0＝2(0－s)． 2?2?因此t＝－2s，m＝s，所以

2

2

22

f(m)＝DE＝

?2s2－s?2＋－2s－s??2??

2

2

32

＝ m＋4m(m>0)． 2

本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力． [演练1]

(2020·徐州信息卷)过直线x＝－2上的动点P作抛物线y＝4x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(1)若切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； (2)求证：直线AB恒过定点．

证明：(1)不妨设A(t1，2t1)(t1>0)，B(t2，2t2)(t2<0)，P(－2，m)． 因为y＝4x，所以当y>0时，y＝2x，y′＝2t1－m12由k1＝2＝，得t1－mt1－2＝0.

t1＋2t1同理t2－mt2－2＝0.

所以t1，t2是方程t－mt－2＝0的两个实数根． 所以t1t2＝－2. 所以k1k2＝

1

＝－为定值． t1t221

2

22

2

2

2

1

x11

，所以k1＝.同理k2＝.

t1t2

2

(2)直线AB的方程为y－2t1＝22t1

即y＝x＋2t1－，

t1＋t2t1＋t2即y＝

2

t2－t12

(x－t1)， 22

t2－t1

22t1t2

x＋，由于t1t2＝－2， t1＋t2t1＋t2

2

(x－2)， t1＋t2

所以直线方程化为y＝

所以直线AB恒过定点(2,0)．

[典例2]

(2020·泰州期末)如图，在三棱锥P—ABC中，平面ABC⊥平面APC，

AB＝BC＝AP＝PC＝2，∠ABC＝∠APC＝90°.

(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

311(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角M－PA－C的余弦值为，求BM的最小值．

11[解] (1)取AC中点O， ∵AB＝BC，∴OB⊥OC. ∵平面ABC⊥平面APC， 平面ABC∩平面APC＝AC， ∴OB⊥平面PAC. ∴OB⊥OP.

以O为坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系． ∵AB＝BC＝PA＝2，∴OB＝OC＝OP＝1.

从而O(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0，－1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，1)，

uuuruuuruuur∴BC＝(－1,1,0)，PB＝(1,0，－1)，AP＝(0,1,1)．

设平面PBC的法向量n1＝(x，y，z)，

uuuruuur?－x＋y＝0，?

由BC·n1＝0，PB·n1＝0得方程组?

??x－z＝0.

uuuruuur6AP·n1

r取n1＝(1,1,1)，∴cos〈AP，n1〉＝uuu＝. | AP||n1|3

设PA与平面PBC所成角为θ，

uuur6

则sin θ＝|cos〈AD，n1〉|＝.

3

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

6. 3

(2)由题意平面PAC的法向量n2＝(1,0,0)． 设平面PAM的法向量为n3＝(x，y，z)，M(m，n,0)．

uuuruuuur∵AP＝(0,1,1)，AM＝(m，n＋1,0)，

uuuruuuur又∵AP·n3＝0，AM·n3＝0，

∴?

?y＋z＝0，???mx＋

n＋1y＝0，

取n3＝?

?n＋1，－1，1?.

?

?m?