高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的

曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

：焦点在x轴上时x21）椭圆y2（a2?b2?122（a?b?0），焦点在y轴上时yxa2?b2＝1

（a?b?0）。方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值是___（答：5,2）

（2）双曲线：焦点在x轴上：x2y2a2?b2 =1，焦

y2x2点在y轴上：a2?b2＝1（a?0,b?0）。方程

Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么（ABC≠

0，且A，B异号）。

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点P(4,?10)，则C

的方程为_______（答：x2?y2?6）

（3）抛物线：开口向右时y2?2px(p?0)，开口向左时y2??2px(p?0)，开口向上时

x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在

分母大的坐标轴上。

22如已知方程xym?1?2?m?1表示焦点在y轴

上的椭圆，则m的取值范围是__（答：(??,?1)?(1,32)）

（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦

点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a最大，a2?b2?c2，在双曲线中，c最大，c2?a2?b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以x2y2a2?b2?1（a?b?0）为例）：

①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个焦点

(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对

称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其中长轴长

，短轴长为2b；④准线：两条准线x??a2为2ac； ⑤

离心率：e?ca，椭圆?0?e?1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。

）若椭圆x2如（1y2105?m?1的离心率e?5，则m的值是__（答：3或

253）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：

22）

（2）双曲线（以x2y2a2?b2?1（a?0,b?0）为

例）：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2?y2?k,k?0；

④准线：两条准线x??a2cc； ⑤离心率：e?a，双

曲线?e?1，等轴双曲线?e?2，e越小，开口

越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??bax。 （3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：①范围：

x?0,y?R；②焦点：一个焦点(p2,0)，其中p的几

何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴

y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：

一条准线x??p2； ⑤离心率：e?ca，抛物线

?e?1。

如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2的焦点坐标为________（答：(0,116a)）； 点P(xyx2y25、0,0)和椭圆a2?b2?1（a?b?0）的关

系：（1）点P(x)在椭圆外?x220y00,y0a2?b2?1；（2）

点P(xx2y2000,y0)在椭圆上?a2?b2＝1；（3）点

P(x?x220y00,y0)在椭圆内a2?b2?1

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有

??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲

线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个

交点，故??0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切； （3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相

交,也只有一个交点；（2）过双曲线x2y2a2?b2＝1外一

点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐

近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点

所构成的三角形）问题： S?b2tan?2?c|y0|，当

|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；对

于双曲线S?b2。 如 （1）短轴长为5，

tan?2练习：点P是双曲线上x2?y212?1上一点，F1,F2为双曲线的两个焦点，且PF1PF2=24，求?PF1F2的周长。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦

点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行

（6）若抛物线y?2px(p?0)的焦点弦为AB，

2

A(x1,y1),B(x2,y2)，则①|AB|?x1?x2?p；

p2,y1y2??p2 ②x1x2?462k设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA?xB?,xA?xB?1?3k21?uuuruuur由OA?OB?6得xAxB?yAyB?6,而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2) 于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB＝

1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则

AB＝1?1k2y1?y2，若弦AB所在直线方程设为

x?ky?b，则AB＝1?k2y1?y2。特别地，焦

点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

x2y2在椭圆a2?b2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在

直线的斜率k=－b2x0a2y；

0弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：

x2y2在双曲线a2?b2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在

直线的斜率k=b2x02a2y；在抛物线y?2px(p?0)中，

0以P(xp0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=

y。 0提醒：因为??0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验??0！

11．了解下列结论

（1）双曲线x22ya2?yb2?1的渐近线方程为xa?b?0；

（2）以y??bax为渐近线（即与双曲线

x2y22a2?xy2b2?1共渐近线）的双曲线方程为a2?b2??(?为参数，?≠0）。

（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2?ny2?1；

（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称

2b2轴的弦）为a，焦准距（焦点到相应准线的距离）

b2为c，抛物线的通径为2p，焦准距为p；

（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（7）若OA、OB是过抛物线y2?2px(p?0)顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0) ?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2

?(k2?1)??962k12.圆锥曲线中线段的最值问题：

1?3k2?2k?1?3k2?2

3k2??7例1、(1)抛物线C:y2

=4x上一点P到点A(3,42)

3k2?1.与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为于是3k2?73k?1?6,即15k2?1323k2?1?0.解此不等式得______________

k2?13或k21 (2)抛物线C: y2

=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦15?3. ③ 点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

由①、②、③得14?k2?1133或15?k2?1. 分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则

故k的取值QA范围为HPH?PF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，

PBF距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2）

(?1,?1315)U(?3113133,?2)U(2,3)U(15,1) （2）（

14,1） 2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在1、已知椭圆Cx21的方程为4?y2?1，双曲线C2的左、直线y = -3上，M点满足MB以uMAuur=（-x,-1-y）, u右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分MBuur=(0,-3-y), uABuur=(x,-2).再由愿意得知

别是C1的左、右焦点。 （uMAuur+uMBuur）? uABuur=0,即（-x,-4-2y）

(1) 求双曲线C2的方程； ? (x,-2)=0.

(2) 若直线l：y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2

所以曲线C的方程式为y=14x2-2. (Ⅱ)设P(x0,y0)恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满为曲线C：y=14x2-2上一点，因为y'=12x,所以l的足OA?OB?6(其中O为原点)，求k的取值范围。

斜率为12x0因此直线l的方程为

解：（Ⅰ）设双曲线C222的方程为xa2?yb2?1，则

y?y10?2x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x2?0。

a2?4?1?3,再由a2?b2?c2得b2?1.

则O点到l的距离d?|2yx20?0|.又1x2y0?x20?44x20?2，

所故C2的方程为3?y2?1.（II）将1x20?41y?kx?2代入x2以d?24?y2?1得(1?4k2)x2?82kx?4?0.x2?(x240?4?2)?2, 0?42x0?42

当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

3设双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物

?1?(82)2k2?16(1?4k2)?16(4k2?1)?0,1线y=x2

+1相切，则该双曲线的离心率等于( )

即 k2?4. ① x2、过椭圆y242?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴

将y?kx?2代入x23?y2?1得(1?3k2)x2?62kx?9?0ab的垂线交椭圆于点P，Fo2为右焦点，若?F1PF2?60，

.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得

则椭圆的离心率为

???1?3k2?0,即1???222k2?2?(?62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.3且k2?1.225、已知双曲线x2?yb2?1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，点P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝( )0

6、已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y2?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若

|FA|?2|FB|，则k?( )

7、已知直线l1:4x?3y?6?0和直线l2:x??1，抛物线y2?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（ ）

8、设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.

9、椭圆x2y29?2?1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?4，则|PF2|? ；?F1PF2的大小为 .

10、过抛物线y2?2px(p?0)的焦点F作倾斜角为

45o的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，

则p?________________ 【解析】设切点P(x'0,y0)，则切线的斜率为

y|x?x0?2x0.

由题意有

y0x?2x0又

y20?x0?1解得:

0x20?1,?ba?2,e?1?(ba)2?5

2双曲线

x2a2?yb2?1的一条渐近线为y?bax,由方程组

???y?bax,消去y,得

x2?b??y?x2?1ax?1?0有唯一解,所以△=

(ba)2?4?0,

所

以

b,e?c?a2?b2?2?1?(b)2aaaa?5

由渐近线方程为y?x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程

是x2?y2?2，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），

且

P(3,1)或

P(3,?1).不妨去

P(3,1)，则

PF1?(?2?3,?1)，PF2?(2?3,?1).

∴

PF1·

PF2＝

(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0【解析】设抛物线C:y2?8x的准线为l:x??2直线

y?k?x?2??k?0?恒过定点P??2,0? .如图过A、B分 别作

AM?l于

M,

BN?l于

N, 由

|FA|?2|FB|,则|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.

连结OB,则|OB|?12|AF|, ?|OB|?|BF| 点B的横坐标为1, 故点B的坐标为

(1,22)?k?22?0221?(?2)?3, 故选D A?x,y?x??y21?4x111?,B2,y2?,则有x1?x2，???y22?4x2两式相减得，y2y2?y1?y241?2?4?x1?x2?，x??1

1?x2y1?y2?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x