(广东专版)2019高考数学二轮复习第二部分专题二三角函数与解三角形专题强化练七三角恒等变换与解三角形理

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一、选择题

3?π??π?1．(2018·烟台二模)已知cos?x－?＝，则cos x＋cos?x－?＝( ) 6?33???23

A．－1 B．1 C. D.3

33?π?解析：因为cos?x－?＝， 6?3?

3π?π?3?π?所以cos x＋cos?x－?＝cos x＋sin x＝3sin?x＋?＝3cos(x－)＝1. 3?23?26??答案：B

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a＝2b(1－sin A)，则A＝( )

3πππ

A.π B. C. D. 4346

解析：因为b＝c，a＝2b(1－sin A)，

2

2

2

2

b2＋c2－a22b2－2b2（1－sin A）所以cos A＝＝， 2

2bc2b则cos A＝sin A.

π

因为在△ABC中，所以A＝.

4答案：C

?π?3．(2018·广东六校第三次联考)已知sin?＋θ?＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin ?2?

θcos θ＋cosθ＝( )

1235

A. B. C. D. 5555解析：因为sin?＝－sin θ，

所以tan θ＝2，

2

?π＋θ?＋3cos(π－θ)＝cos θ－3cos θ＝－2cos θ＝sin(－θ)

?

?2?

1

sin θcos θ＋cosθtan θ＋13

则sin θcos θ＋cosθ＝＝＝. 222

sinθ＋cosθtanθ＋15

2

2

答案：C

4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为

a2＋b2－c2

4A.

，则C＝( )

ππππ

B. C. D. 2346

1

解析：因为S△ABC＝absin C，

2所以

a2＋b2－c21

4

2

2

＝absin C. 2

2

由余弦定理a＋b－c＝2abcos C. 得2abcos C＝2absin C，则tan C＝1. π

在△ABC中，C＝.

4答案：C

5．(2018·合肥第一次教学质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若22

cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )

3

A．4π B．8π C．9π D．36π 解析：已知bcos A＋acos B＝2，

即2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2(R为△ABC的外接圆半径)． 所以2Rsin(A＋B)＝2，即2Rsin C＝2， 221

又cos C＝，知sin C＝，

332

所以2R＝＝6，R＝3.

sin C故△ABC外接圆面积为S＝πR＝9π. 答案：C 二、填空题

6．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．

解析：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以sinα＋cosβ＋2sin αcos β＝1，① cosα＋sinβ＋2cos αsin β＝0，②

2

22

2

2

2

则①＋②得2＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1. 1

所以sin(α＋β)＝－.

21

答案：－

2

7．在△ABC中，AC＝2，AB＝7，C＝60°，则AB边上的高等于________． 解析：如图所示，作CH⊥AB交AB于H，

在△ABC中，由余弦定理得，

AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos 60°，

所以7＝BC＋4－2BC，解得BC＝3(负值舍去)， 11

又AC·BC·sin 60°＝AB·CH， 22321则33＝7CH，故CH＝. 7321答案：

7

8．(2018·全国卷Ⅰ)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin

2

B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．

解析：由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C及正弦定理， 得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C. 1又sin Bsin C≠0，所以sin A＝. 2

b2＋c2－a283

由b＋c－a＝8，得cos A＝＝＝.

2bc2bc2

2

2

2

83

所以bc＝，

3

1183123

故S△ABC＝bcsin A＝××＝.

2232323

答案：

3三、解答题

9．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的4??3

终边过点P?－，－?.

5??5

3

(1)求sin(α＋π)的值；

5

(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．

1334

解：(1)因为角α的终边过点P(－，－)，

5543

得sin α＝－，cos α＝－，

554

则sin(α＋π)＝－sin α＝. 5

512

(2)由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±，

1313

由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 5616

所以cos β＝－或cos β＝.

6565

10．(2018·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A?π?＝acos?B－?.

6??

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．

解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin A＝asin B.

sin Asin Bab?π??π?又由bsin A＝acos?B－?，得asin B＝acos?B－?.

6?6????π?则sin B＝cos?B－?，可得tan B＝3. 6??

π

又因为B∈(0，π)，可得B＝.

3

π

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

3有b＝a＋c－2accos B＝7，故b＝7. 3?π?由bsin A＝acos?B－?，可得sin A＝. 6??7因为a＜c，故cos A＝

27.

2

2

2

43

因此sin 2A＝2sin Acos A＝，

712

cos 2A＝2cosA－1＝.

7

4