概率论与数理统计公式整理

概率论与数理统计 公式

第1章 随机事件及其概率

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，随机试验但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试和随机事验。 件 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 基本事件、这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 和事件 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 ）事件的关系与运算 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) ??i 德摩根率：i?1?A??Ai?1i A?B?A?B，A?B?A?B 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 概率的公1° 0≤P(A)≤1， 理化定义 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，?有 1

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????P?Ai?????i?1???P(A)ii?1常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 1° ????1,?2??n?， 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?古典概型 1n 。 设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有 P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m) ?mn?A所包含的基本事件数基本事件总数 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何几何概型 概型。对任一事件A， P(A)?L(A)L(?)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)P(A)减法公式 为事件A发生条件下，事条件概率 件B发生的条件概率，记为P(B/A)?P(AB)P(A)。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，?An，若P(A1A2?An-1)>0，则有 ）乘法公式 P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??P(An|A1A2?An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 独立性 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 P(AB)P(A)P(B)P(B|A)???P(B)P(A)P(A) 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 1

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必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,?,Bn满足 1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， n全概公式 A?2°则有 ?Bi?1i， P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，?，Bn及A满足 1° B1，B2，?，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，2，?，n， nA?2° 则 贝叶斯公式 ?Bi?1i，P(A)?0， P(Bi)P(A/Bi)P(Bi/A)?n，i=1，2，?n。 ?P(Bj?1j)P(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。 P(Bi)，（i?1，2，?，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，?，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 伯努利概这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 型 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0?k?n)次的概率， Pn(k)?Cknpqkn?k，k?0,1,2,?,n。

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第二章 随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,?)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,?， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。 显然分布律应满足下列条件： ?（1）pk?0，k?1,2,?， （2）k?1（2）连续型随机变量的分布密度 ?pk?1。 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 F(x)??x??f(x)dx， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° f(x)?0。 2° ?????f(x)dx?1。 （3）离散与连续型随机变量的关系 P(X?x)?P(x?X?x?dx)?f(x)dx 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 1