高三数学一轮基础巩固 第12章 第5节 数学归纳法 理(含

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第12章 第5节 数学归

纳法(理) 北师大版

一、选择题

111

1．若f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为( )

6n－1A．1

1B．5 D．非以上答案

1111

C．1＋2＋3＋4＋5 [答案] C

[解析] 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C．

111127

2．用数学归纳法证明不等式1＋2＋4＋…＋>64(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )

2n－1A．7 B．8 C．9 D．10 [答案] B

11－2n

127

[解析] 由Sn＝>164得n>7，又n∈N＋，

1－2

所以n≥8.

3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋____________( ) πA．2 3C．2π

B．π D．2π

[答案] B

[解析] 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 4．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到( )

A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 [答案] D

[解析] 由条件知，左边是从20,21一直到2n－1都是连续的，因此当n＝k＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k，而右边应为2k＋1－1.

5．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某人的证明过程如下： 1°当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.

- 1 -

2°假设n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即k2＋k

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [答案] D

[解析] 本题的证明中，从n＝k到n＝k＋1的推理没有用到归纳假设，所以本题不是用数学归纳法证题．

6．下列代数式(其中k∈N＋)能被9整除的是( ) A．6＋6·7k B．2＋7k－1 C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k) [答案] D

[解析] (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．

(2)假设当k＝n(n∈N＋)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.

这就是说，k＝n＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，命题对任何k∈N＋都成立． 二、填空题

x

7．(2014·陕西高考)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 则f2014(x)

1＋x的表达式为________．

x

[答案] 1＋2014x[解析] 考查归纳推理．

x1＋xx1

f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝， x1＋x1＋2x

1＋1＋xx1＋2x

f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…， x1＋3x

1＋

1＋2xx

f2014(x)＝. 1＋2014x

8．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． [答案] 2k＋1

[解析] ∵n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．

9．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)时，从k到k＋1，左边需要增加的代数式为________．

- 2 -

[答案] 2(2k＋1)

[解析] 当n＝k时左边的最后一项是2k，n＝k＋1时左边的最后一项是2k＋2，而左边各项都是连续的，所以n＝k＋1时比n＝k时左边少了(k＋1)，而多了(2k＋1)(2k＋2)．因此增加的代数式是

2k＋1

k＋1

2k＋2

＝2(2k＋1)．

三、解答题 10．(2014·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.

(1)求a1，a2，a3的值； (2)求数列{an}的通项公式．

[解析] (1)a1＝S1＝2a2－3×12－4×1＝2a2－7①

a1＋a2＝S2＝4a3－3×22－4×2＝4(S3－a1－a2)－20＝4(15－a1－a2)－20， ∴a1＋a2＝8②

??a1＝3

联立①②解得?，∴a3＝S3－a1－a2＝15－8＝7，

?a2＝5?

综上a1＝3，a2＝5，a3＝7.

(2)由(1)猜想an＝2n＋1，以下用数学归纳法证明： ①由(1)知，当n＝1时，a1＝3＝2×1＋1，猜想成立； ②假设当n＝k时，猜想成立，即ak＝2k＋1， kk－1

∴Sk＝3k＋×2＝k2＋2k， 2

又Sk＝2kak＋1－3k2－4k， ∴2kak＋1－3k2－4k＝k2＋2k， ∴ak＋1＝2k＋3，

即n＝k＋1时，有ak＋1＝2(k＋1)＋1成立． 由数学归纳法原理知，an＝2n＋1成立.

一、选择题

n4＋n2

1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝2，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( ) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C．

k＋14＋k＋12

2

D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2

[答案] D

[解析] ∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，

左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2， ∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 (k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.

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