第六章 定积分的应用

第六章 定积分的应用

1． 求由抛物线y?x(x?a)(a?0)与直线y?x所围平面图形的面积。 解：A??a?101[x?x(x?a)]dx=(a?1)3

62． 求由曲线y?e?x与过点(?1,e)的切线及x轴所夹图形的面积。 解：y?x??1??e?xx??1??e，则过点（-1，e）的切线方程为y??ex，

此切线过原点 A??0?1(e?x?ex)dx??e?xdx=[?e?x?0??e20e??x]?1?[?e?x]0=

223． 求曲线x?acos3t,y?asin3t所围图形的面积。 解：A?4ydx=40?a?0??2asint?3acost(?sint)dt=12a322?20sin4t?sin6t)dt

?12a2(3?1?5?3?1?32???)=?a。 4?226?4?2284． 求曲线r?a(1?cos?)和r?a所围成图形的公共部分的面积。

解：求交点，由??r?a???求得交点(a,),(a,?)，由对称性

22?r?a(1?cos?)?11A?2[?2a2d????a2(1?cos?)2d?]

022212=2{a?2?2013125?a2[??2sin??sin2?]??} =a(??2)

42242225． 求由抛物线y?x和y?2?x所围图形绕x轴旋转一周所成立体的体积。

?y?x2解：求此两曲线的交点?，得（-1，1），（1，1） 2?y?2?xVx???[(2?x)?x]dx=2??(4?4x2)dx =2?[4x??101224143116x]0=?。

332226． 求x?y?a绕y??b(b?a?0)旋转所成旋转体的体积。

解：V??a?aa[?(b?a2?x2)2??(b?a2?x2)2]dx

[(b2?2ba2?x2)2?(a2?x2)?b2?2ba2?x2?(a2?x2)]dx

22 =?=????aa?a4ba?xdx=8?b?a0a2?x2dx=2?2a2b。

7． 计算星形线x?acos3t,y?asin3t的全长。

??解：S?4?20(xt?)?(yt?)dt=4?2(?3acos2tsint)2?(3asin2tcost)2dt

022? ?12a?2012sintcostdt=12a[sin2t]0=6a。 2?8． 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短半轴分别为2a,2b。用过此柱体底面的短 轴且与底面成?角（?为锐角）的平面截此柱体得一楔形体。求此楔形体的体积。

x2y2解：设底面椭圆方程为2?2?1。任取位于第一象限内椭圆上一点(x,y)，

ba则过此点的垂直于x轴的平面交立体得一直角三角形，其面积为

112x2A(x)?y?ytan??a(1?2)tan?。

22b因此楔形体的体积为

b12x22V?atan??(1?2)dx?a2btan?。

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