四川省成都市2015届中考数学思维方法讲义：第1讲 证明--三角形专题

【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

§第1讲 证明（三角形专题）

【学习目标】

1、牢记三角形的有关性质及其判定；

2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． （3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的线段EF的长．

【考点透视】

1、全等三角形的性质与判定；

2、等腰（等边）三角形的性质与判定；

3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理； 4、相似三角形的性质与判定。

1时，求4【精彩知识】

专题一 三角形问题中的结论探索

【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一 起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点； ④AG：DE=是 .

3：4，其中正确结论的序号

●变式练习 E

1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结

A 论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号D

是 ．

O ★考点感悟：

B C 专题二 三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索

【例2】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足

为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它

条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．

图（1） 图（2）

★考点感悟：

- 1 -

●变式练习：

如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO=6+33；⑤S论是【 】

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③

【例4】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G． ①求证：BD⊥CF； ②当AB=4，AD=2时，求线段BG的长．

AOC专题三 几何动态问题

【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以a cm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形． 5

①若a＝，求PQ的长；

2

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

★考点感悟：

●变式练习：

已知线段AB=6，C．D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为 ．

?SAOB?6+93．其中正确的结4APBQDC

★考点感悟：

GEFACPDB

- 2 -

专题四 几何与函数结合问题

【例6】如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x.

★考点感悟：

【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，

EPDQBCF1EF时，求S?DPE:S?DBC的值； 31（2）当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；

21（3）①当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；

31②当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，求直接y与x之间的函数关系式。

n（1）当x?

A使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

- 3 -

★考点感悟：

【课后测试】

一、选择题：

1、下列判断正确的是（ ）

A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B.有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2、在平面直角坐标系xoy中，已知A（2，–2），在y轴上确定点P，使△AOP为等到腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个

二、填空题：

3、在锐角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC， M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；

（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： PF

①的值是否发生变化？请说明理由； PE②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。

图①

图②

6、如图（1），将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起。

（1）操作：如图（2），将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合）。FE交DA于点G4、如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=3，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现2（G点不与D点重合）。求证：BH·GD=BF （2）操作：如图（3），△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 ▲

且CF始终经过A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG。探究：FD+DG=__________。

（结果用含有π的式子表示） 请予证

明。

（1） (2) (3)

三、解答题：

5、在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边

分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）。 学生对本次课的评价： ○特别满意 ○满意 ○一般 ○不怎么样 - 4 - 家长意见或建议： 家长签字：