判断一个数能否被几个特殊质数整除的方法

判断

在小学的时候，我们曾学会判断一个数能否被2,3,5整除的方法。但在有些题目的解题过程中，往往需要判断一个数能否被11,13,17等数整除。现在，我介绍几个判断能否被几个特殊质数整除的方法，并证明。

1）判断一个数能否被2整除的方法 只需判断其个位数字能否被2整除。

证明：任意一数abcd， abcd?10?abc?d

当2d时，?210?abc

?210?abc?d，即2abcd

2）判断一个数能否被3整除的方法

只需判断其各位数字之和能否被3整除。 证明：任意一数abcd 当3a?b?c?d时

则31000a?1000b?1000c?1000d ?3900b,3990c,3999d ?31000a?100b?10c?d 即3abcd

3）判断一个数能否被5整除的方法

当一个数的个位为0或5时，此数能被5整除。 证明：任意一数abc0或abc5 ?50且55 又5abc?10

0,5abc ?5abc 54）判断一个数能否被7整除的方法

将此数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。

证明：任意一数abcd

?7abc?2d ?7abc?10?20d 又?721d ?7abcd

5）判断一个数能否被11整除的方法

将此数的奇位数字之和与偶位数字之和作差，若差能被11整除，则此数能被11 证明：①当有奇位数字时，对任意的数x1x2x3...xn ?11x1?x3?x5?...?xn?x2?x4?x6?...?xn?1 ?11x1?10n?1?x3?10n?1?...?xn?10n?1?x2?10n?1?x4?10n?1

?...?xn?1?10n?1 ?11x1?10n?1?x2?10n?2?x3?10n?3?...?xn?100?x3?10n?1?10n?3??

x5?10n?1?10n?5??...?xn?10n?1?100??x2?10n?1?10n?2??x4?10n?1?10n?4??...?xn?1?10n?1?10?

?11x1x2x3...xn?x3?10n?1?10n?3??x5?10n?1?10n?5??...?xn?10n?1?100??x2?10n?1?10n?2??x4?10n?1?10n?4??...?xn?1?10n?1?10?

?要证原命题，只需证 1110 ?111?10?2an?1?10n?1?2a 与 1110n?1?10n?2a

?2an?1 ?1110n?1?1?10? 即1110?10n?1?2a

又1199?10 ?1110 1110n?1n?2a,1110n?1?10n

?10n?99?10n?2?1110n?1?10n?2

n?1?10n?2?99?10n?4?1110n?1?10n?4

? ?1110n?1?10n?2a?2?99?10n?2a?1110n?1?10n?2a

又由①?11x1x2x3...xn

②当有偶数位时，证法相似，不再作过多证明。

6）判断一个数能否被13整除的方法

将此数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数字的4倍，和是13的倍数，则原数能被13整除。 证明：对任意数abcd ?13abc?4d

?13abc?10?d?39d 又1339d ?13abcd

7）判断一个数能否被17整除的方法

将此数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的5倍，差是17的倍数，则原数能被17整除。 证明：对任意数abcd 若17abc?5d 则17abc?10?50d ?17abcd?51d 又1751d ?17abcd

8）判断一个数能否被19整除的方法

将此数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数字的2倍，和是19的倍数，则原数能被19整除。 证明：对任意数abcd 若19abc?2d 则19abc?10?d?19d ?19abcd?19d ?1919d ?19abcd

以上①，③方法我称之为判断法，只需判断其个位数字即可，这种方法得益于210，510。

将这种方法拓展一下，我们不仅仅把眼光放在个位数字上，如果放大至两位或三位，我们又可由4100，25100，1251000，81000得出判断一个数是否为4，25，8，125的倍数的方法，很显然，只需判断末几位数字即可，当然，不只这几个数，我们还可以无限拓展，从而得出判定：2a?5b?a,b?N?的倍数的方法。

接着再分析下④，⑥，⑦，⑧的方法，我称之为截尾法。 从证明过程中我们可以发现一些共同规律，将他进一步拓展，我们可以发现它能够判断任意两个数是否成倍数关系。

假设我们判断任意整数能否被n整除。

对任意数abcd，截去个位，并将个位数扩大x倍。

c10?10x? d nab? 则nabcd??10x?1?d ?此x须满足n?10x?1?d

?x?N，?10x?1为个位数为9的任意一个数，而n的个位数字可能为1，3，7（其

3，3?3?9，7?7?49，7中的一个，他数字可适当缩放，变为1，不影响结果），而1?9?9，

都可转换为个位数字为9的数，?此方法能判定任两数是否为倍数关系。 例如，我们判断3985432能否被37整除。 首先，3710x?1，得x?26

开始计算：398543?26?2?398595

39859?26?5?39989 3998?26?9?4232 423?26?2?475 47?26?5?177 ?177不能被26整除

?3985432不能被37整除。

再如，我们判断463594能否被29整除， 首先，2910x?1，得x?3 开始计算：46359?3?4?46371 4637?3?1?4640 464?3?0?464 46?3?4?58 5?3?8?29

?2929，?463594能被29整除。

当然，这只是理论上的计算，但有些数字计算较繁杂，也就失去了原先的意义了。

以上方法对于位数较少的数的判断还是十分有效的，但对于位数较多的就显得有些笨拙了，现在，我再来介绍一类判断大数的方法。

9）判断一个数能否被11（以及13，7）整除的方法

将此数的末三位数与三位以前的数作差，若所得差能够被11（以及13，7）整除，那么，原数也能。 证明：任意一整数abcde（以11为例，其他同理） ?11cde?ab ②

又1001ab0ab,1001?11?13?7 ?11ab0ab

又由②式得：11abcde

10）判断一个数能否被23（以及29，15）整除的方法

将此数的末四位截去，并将剩下的数扩大5倍，与截出的4位数作差，若差能被23（以

及29，15）整除，那么，原数也能。 证明：任意一整数abcde（以23为例，其他同理） 235a?bcde ③

1000510005?a,10005?23?29?15 ?23a0000?5a 又由③式得：23abcde

以上方法（⑨，⑩），我称之为断数相减法，其实，这种方法不仅限于以上两种，对于任意数其实都是可行的，但可能计算会变得不简单，而真正可以成为“判别方法”的也就那么几种，例如，10001?73?137，102?2?51等。扩大不仅限于前几位，可以末几位扩大，也可以两者一起扩大，最实用的方法，还需继续探索。