第十三讲 反比例函数

第十三讲 反比例函数

考点综述：

反比例函数也是中考重点考查的内容之一，它要求考生能结合具体情境体会反比例函数的意义，根据已知条件确定反比例函数的关系式；会画反比例函数的图象，并能根据图象和关系式探索其性质；能用反比例函数解决实际问题。

②根据图像说出性质、根据性质大致画出图像及求解析式是一个难点，要逐步理解和掌握。 考点3 反比例函数解析式的确定：因为反比例函数的解析式y?kx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，

kx也就确定了反比例函数，因而一般只需要给出一组x、y的对应值或图像上一点的坐标，代入y?中即可求

中考课标要求

出k的值，从而确定反比例函数的解析式。 考点4 反比例函数的应用

在实际生活中，如何应用反比例函数只是解题，关键是建立反比例函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后再根据反比例函数的性质，综合方程、不等式、几何知识和图像求解。

在反比例函数应用的过程中，要注意结合实际，确定自变量的取值范围，求出对应的函数值时，也要结合知识与技能目标 考点 课标要求 了解 理解 掌握 灵活应用 理解反比例函数意义 ∨ 反比会画反比例函数的图象 ∨ 例函理解反比例函数的性质 ∨ 数 能根据实际问题中的反比例关系用待定系数法确定反比例函数的解析式 ∨ ∨ 考点精析

考点1 反比例函数

（1）反比例函数的概念：一般地，形如y?kx（k为常数，k?0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。

注意：反比例函数也可以写成y?kx?1和xy?k的形式。 （2）反比例函数的特征

①自变量x位于分母上，且其次数是1； ②常量k?0；

③自变量x的取值范围是x?0的一切实数； ④函数值y的取值范围是非0实数。 考点2 反比例函数的图像与性质 （1）反比例函数的图像：反比例函数y?kx（k为常数，k?0）的图像由两个分支组成，叫做双曲线；它的

两个分支分别在第一、三或第二、四象限，这两个分支关于坐标原点成中心对称。 （2）反比例函数的性质

①当k?0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小； ②当k?0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大。

注意：①由于双曲线在x?0处是断开的，因此其性质强调在每一个象限内y随x的变化而变化的情况，整个图像没有这样的性质，使用时，必须分别在每一个象限内来研究函数值y随x的变化情况；

实际舍去不符合题意的部分。

2008年中考试题荟萃

一、选择题：

1．（2008年南昌市）下列四个点，在反比例函数y?6x图象上的是（ ）

A．(1，?6) B．（2，4） C．（3，?2） D．（?6，?1)

2．（2008嘉兴市）某反比例函数的图象经过点(?2，3)，则此函数图象也经过点（ ）

A．(2，?3)

B．(?3，?3)

C．(2，3) D．(?4，6)

3.(2008年安徽省)函数y?kx的图象经过点（1，－2），则k的值为( )

A．

12 B．?12 C．2 D．－2

4.（2008黄冈市）已知反比例函数y=

2x，下列结论中，不正确．．．

的是（ ） A．图象必经过点(1，2) B．y随x的增大而减少 C．图象在第一、三象限内 D．若x?1，则y?2 5.(2008常州市) 若反比例函数y?k?1x的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是( A.-1

B.3

C.0

D.-3

6.（2008年南京市）已知反比例函数的图象经过点P(?2，1)，则这个函数的图象位于（ ）

A．第一、三象限; B．第二、三象限; C．第二、四象限; D．第三、四象限 y 7．(2008年宁波市)如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y?kx过点A，则kA C 的值是（ ） B O x A．2

B．?2

C．4

D．?4

（第7题）

)

8．(2008年扬州市)函数y?1?kx的图象与直线y?x没有交点，那么k的取值范围是( )

A、k?1 B、k?1 C、k??1 D、k??1

9．(2008年双柏县)已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行

驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（ ） t/h t/h t/h t/h O v/(km/h) O

v/(km/h)

O v/(km/h)

O v/(km/h)

A． B． C． D． 10.(08年宁夏回族自治区) 反比例函数y?kx(k＞0)的部分图象如图所示，A、B是

图象上两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1和S2 的大小关系为（ ） ｙ A．S1＞ S2 B。S1= S2 C。S1 ＜S2 D。无法确定 A11.（2008恩施自治州）如图5,一次函数ｙ21=ｘ－1与反比例函数ｙ2=的图像交于

O ｘ xB 点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是（ ）

A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C. －1＜ｘ＜2 D. ｘ＞2 或ｘ＜－1

图5 12.（2008年广东湛江市）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（ ） h h h h O a O a

O a O a A． B． C． D ．

13. (2008年西宁市) 如图，已知函数y??kx中，x?0时，y随x的增大而增大，则y?kx?k的大致图象为

（ ） y y y y O x O x O x O x A．

B．

C．

D．

14.(2008年益阳) 物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为P?FS. 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致

P P ( ) P P 为 O S S O S S O O

A B C D

15．(2008年内江市) 若A(a，b)，B(a?2，c)两点均在函数y?1x的图象上，且a?0，则b与c的大小关

系为（ ） A．b?c B．b?c C．b?c

D．无法判断

二、填空题：

1．（2008年义乌市）函数y?1x?a，当x?2时没有意义，则a的值为 ．

2.（2008年上海市）在平面直角坐标系中，如果双曲线y?kx(k?0)经过点(2，?1)，那么k? ．

3.（2008年龙岩市）若y?kx的图象分别位于第一、第三象限，则k的取值范围是 .

4.（云南省2008年）函数y?2中 ，自变量x?1x的取值范围是_________．

5．(08河南)已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则m的值为 ． 6.（2008年湖北省宜昌市）某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（㎡）之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为p=________. 7.（2008年巴中市）如图8，若点A在反比例函数y?kx(k?0)的图象上，AM?x轴于点M，△AMO的

面积为3，则k? ．

y

y?2Px

1

P2

P3 P4

O

1 2

3

4

x

9.（2008福建福州）如图，在反比例函数y?2x（x?0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依

次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为

S1，S2，S3，则S1?S2?S3? ．

10.（2008年遵义市）如图，在平面直角坐标系中，函数y?kx（x?0，常数k?0）的图象经过点A(1，2)，

B(m，n)，（m?1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．若△ABC的面积为2，则点B的坐标为 ． y y A(1，2) y?

kx C B(m，n)

Q y?1x x

O C A O x （10题图） B P

(第12题图) 11．（2008年湖北省咸宁市）两个反比例函数y?k1kx和y?x在第一象限内的图象如图所示，点P在y?x的图

象上，PC⊥x轴于点C，交y?1x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y?1的图象于点B，当点P在y?kxx的图象上运动时，以下结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 12．（2008年荆州市）如图，一次函数y?12x?2的图象分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为

△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y?kx(k?0)的图象于Q，S3?OQC?2，则k的值和Q点的坐

标分别为_________________________.

13．（2008年芜湖市）在平面直角坐标系xoy中，直线y?x向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反

比例函数y?kx的图象的一个交点为A(a，2)，则k的值等于 ．

14.(2008常州市) 过反比例函数y?kx(k?0)的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段,如果垂线段与x、y轴

所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上_4 ,则m=______.

15. (2008年西宁市)如图3所示的是函数y?kx?b与y?mx?n的图象，求方

y 程组?y?kx?b??y?mx?n的解关于原点对称的点的坐标是 ；在平面直角

4 坐标系中，将点P(5，3)向左平移6个单位，再向下平移1个单位，恰好在函O 3 数y?kx的图象上，则此函数的图象分布在第 象限．

x 图3

16.（2008年甘肃省白银市）一个函数具有下列性质：

①它的图像经过点（－1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大

而增大．则这个函数的解析式可以为 ．

17、（2008年宜宾市）若正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数y=

1x的图像

上，则点C的坐标是 .

18．（四川省资阳市）若A(x1，y1)、B(x2，y12)在函数y?2x的图象上，则当x1、x2满足_______________时， y1＞y2。

19、（08河南试验区）如图，直线y?kx??2(k＞0)与双曲线y?kx在第一象限内

的交点面积为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则k? . 三、解答题：

1. （2008年郴州市）已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数y?4x 的图像交于A（2，2），B(－1，m)，

求一次函数的解析式．

2.（2008年聊城市）已知一次函数与反比例函数的图象交于点P(?3，m)，Q(2，?3)． y 6 （1）求这两个函数的函数关系式；

5 4 （2）在给定的直角坐标系（如图）中，画出这两个函数的大致图象；

3 2 （3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x为何

1 -6 -5 -4 -3 -2 -O 1 2 3 4 5 6 x

值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ -1 -1 2 -3 -4 -5 -6

3．（2008年重庆市）已知：如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）. （1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线BC的解析式.

Y6. （四川省资阳市）若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝（1）求反比例函数的解析式；

k2x的图象都经过点（1，1）．

（2）已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；

A

4. ( 2008年杭州市) 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y?（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题： （1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函 数关系式及相应的自变量的取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?

(第4题)

at（3）利用（2）的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你

BOCX直接写出点P的坐标．