2004年高考数学试题（全国4理）及答案

在[0，2]上的最大值.

19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）?的可能值为－300，－100，100，300.

P（?=－300）=0.23=0.008, P（?=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P（?=100）=3×0.2×0.82=0.384, P（?=300）=0.83=0.512, 所以?的概率分布为

? P －300 0.008 －100 0.096 100 0.384 300 0.512 根据?的概率分布，可得?的期望

E?=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.

（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（?≥0）=0.384+0.512=0.896.

20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析 问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD.

z作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD， P所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， D所以PO=33，四棱锥P—ABCD的体积 VP—ABCD=

CByAExO图11?8?43?33?96. 3（Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得

P（0，0，33），A（23，－3，0），B（23，5，0），D（－23，－3，0） 所以PA?(23,?3,?33),BD?(?43,?8,0). 因为PA?BD??24?24?0?0, 所以PA⊥BD.

解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8，得

PDEFOCBEOAD?. AEABA所以 Rt△AEO∽Rt△BAD. 得∠EAO=∠ABD.

所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD.

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图2 因为 直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l的方程为

xy??1，即 bx?ay?ab?0. ab由点到直线的距离公式，且a?1，得到点（1，0）到直线l的距离

d1?b(a?1)a?b22，

同理得到点（－1，0）到直线l的距离d2?b(a?1)a?b22

s?d1?d2?由s?2aba2?b2?2ab. c42ab4c,得?c, 即 5ac2?a2?2c2. 5c5于是得 5e2?1?2e2,解不等式，得

即4e4?25e2?25?0.

55?e2?5. 由于e?1?0,所以e的取值范围是?e?5. 4222．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以

及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：f?(x)??e(cosx?sinx)?e(?sinx?cosx)??2e由f?(x)?0,得?2e?x?x?x?xsinx.

sinx?0.

解出x?n?,n为整数，从而

xn?n?,n?1,2,3,? f(xn)?(?1)ne?n?.

所以数列{f(xn)}是公比q??e??f(xn?1)??e??.

f(xn)的等比数列，且首项f(x1)?q.

n?1（Ⅱ）解：Sn?x1f(x1)?x2f(x2)???xnf(xn)??q(1?2q???nq),

qSn??q(q?2q2???nqn), Sn?qSn??q(1?2q???q2n?1?nq)而Sn?n?q1?qn1?q1?q(?nqn).

1?qn??q(?nqn),1?q

S1?S2???Sn

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?q(1?q)2??q2n(1?q)2(1?q???qn?1)??q2n(1?q)(1?2q???nqn?1)

1?qn?q21?qnn???(?nq)2221?q1?q(1?q)n(1?q)n(1?q)?q?q?q22?q2?qn?2n??(1?q)?.232(1?q)n(1?q)(1?q)因为|q|?e???1.limqn?0，所以

n??S1?S2???Sn?q??e?lim??. n??n(1?q)2(e??1)2

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