山东省济宁市第一中学2020届高三下学期二轮质量检测数学试题

π?π???解析 将函数f(x)＝3cos?2x＋3?－1的图象向左平移3个单位长度，

??π?π????得到y＝3cos??2?x＋3?＋3?－1＝3cos(2x＋π)－1＝－3cos 2x－1的图象；

再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－3cos 2x的图象，对于函数g(x)，它的最大π3π

值为3，由于当x＝12时，g(x)＝－2，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝12对称，故A错误；

由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确； 2π

它的最小正周期为2＝π，故C正确；

π?π?

?当x＝4时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点??4，0?对称，故D正确. 12.答案 BC

1??

?解析 对于A，函数y＝f(x)在区间?－3，－2??内有增有减，故A不正确； 对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；

对于C，当x∈(－2,2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增，故C正确；

对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确. 三、填空 13.答案 1 200

解析 由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)， 50

所以该校学生总人数为600÷100＝1 200. 14.答案 2 23

解析 由已知可得，(2－12)(1＋a)3＝27，则a＝2.

所以(2－x2)(1＋ax)3＝(2－x2)(1＋2x)3＝(2－x2)(1＋6x＋12x2＋8x3)， 所以展开式中含x的项的系数是2×12－1＝23. 15.答案 600

解析 根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C45＝5(种)选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A55＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种). e16.答案 2

2

a1

解析 函数f(x)＝aln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x，g′(x)＝2x，

设曲线f(x)＝aln x与曲线g(x)＝x的公共点为(x0，y0)， 由于在公共点处有共同的切线，

a1

∴x0＝2x0，解得x0＝4a2，a>0.

由f(x0)＝g(x0)，可得aln x0＝x0.

?x0＝4a，联立??aln x0＝x0，

四、解答题

2

e

解得a＝2. 17.(1)证明 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1. 由bn＝an＋n，那么bn＋1＝an＋1＋n＋1，

bn＋1an＋1＋n＋12an＋n－1＋n＋1∴bn＝an＋n＝＝2； an＋n即公比q＝2，b1＝a1＋1＝2，

∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得bn＝2， ∴an＋n＝2n，

∴数列{an}的通项公式为an＝2－n， ∴数列{an}的前n项和为

nnSn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n

＝(21＋22＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n) ＝2

n＋1

n2n2

2

2

－2－2－2.

18.解 (1)因为3b＋3c－42bc＝3a， 42

所以b＋c－a＝3bc，

2

2

2

在△ABC中，由余弦定理得，

b2＋c2－a222

cos A＝2bc＝3，

所以sin A＝1－cosA＝

2

811－9＝3. (2)因为3csin A＝2asin B，

3c所以3ac＝2ab，即b＝2. 1

因为△ABC的面积为2，所以2bcsin A＝2， 13c1

即2×2×3＝2，解得c＝2. 所以b＝32，

在△ABC中，由余弦定理得，

2

a2＝b2＋c2－2bccos A＝6，

所以a＝6，

所以△ABC的周长为2＋32＋6. 19.(1)证明 连接AC，则AC⊥DE，

又平面BDE⊥平面AECD，平面BDE∩平面AECD＝DE，AC?平面AECD， 所以AC⊥平面BDE， 所以AC⊥BE.

又BE⊥CE，AC∩CE＝C，AC，CE?平面AECD， 所以BE⊥平面AECD.

(2)解 如图，由(1)得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE.

→→→

所以EA，EB，EC两两垂直，分别以EA，EB，EC方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系E－xyz如图所示，则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)， 设F(a，0，2)，0≤a≤2，

→→

所以AF＝(a－2，0，2)，BF＝(a，－2，2)， 设平面FAB的法向量为n＝(x，y，z)，

→??AF·n＝?a－2?x＋2z＝0，则?→??BF·n＝ax－2y＋2z＝0，

取x＝2，得n＝(2，2，2－a). 取平面EBC的法向量为m＝(1，0，0).

m·n22所以cos〈m，n〉＝|m||n|＝a2－4a＋12＝3，

所以a＝1.

所以线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余2弦值为3.

c3

20.解 (1)由已知可得a＝3，

32

所以a＝2b，

2

y2

所以椭圆C的方程为3＋b2＝1，

22b2??322?将点?2，2??代入方程得b＝2，即a＝3，

x2

x2y2

所以椭圆C的标准方程为3＋2＝1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).

①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1， 23??23?????不妨设A?1，3?，B?1，－3??，E(1，1)，F(1，－1)， 43163

22

所以|AB|＝3，|EF|＝4，|AB|·|EF|＝3； ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

xy??＋＝1，32

联立直线l与椭圆方程得?

??y＝k?x－1?，

可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0， 6k23k2－6

则x1＋x2＝2＋3k2，x1x2＝2＋3k2，

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