人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二导学案

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1.4.2.正弦函数、余弦函数的性质(二)

学习目标.1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝

Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.

知识点一.正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线：

余弦曲线：

可得如下性质：

由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1，1].

对于正弦函数y＝sin x，x∈R有：

π

当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；

2π

当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.

2对于余弦函数y＝cos x，x∈R有：

当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1； 当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 知识点二.正弦、余弦函数的单调性

π3π

观察正弦函数y＝sin x，x∈[－，]的图象.

22

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π3π

思考1.正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？

22答案.观察图象可知：

?ππ?当x∈?－，?时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；

?22?

当x∈?

?π，3π?时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.

?2??2

推广到整个定义域可得

π?π?当x∈?－＋2kπ，＋2kπ?(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大

2?2?到1； 当x∈?－1.

观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象.

?π＋2kπ，3π＋2kπ?(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到

?2?2?

思考2.余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案.观察图象可知：

当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得

当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1； 当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3.正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？

π?π?答案. y＝sin x的增区间为?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z，减区间为

22

??

?π＋2kπ，3π＋2kπ?，k∈Z.

?2?2??

y＝cos x的增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.

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梳理.

解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1，1] [－1，1] 在[－π＋2kπ，2kπ]， 单调性 π?π?k∈Z上递增，在?－＋2kπ，＋2kπ?， 2k∈Z上递增， ?2?在??π＋2kπ，3π＋2kπ?，k∈Z上递减 ?2?2?在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 最值 π当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x2π＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 2

类型一.求正弦、余弦函数的单调区间 例1.求函数y＝2sin?解.y＝2sin?

?π－x?的单调递增区间.

??4?

?π－x?＝－2sin?x－π?， ???4??4??

π

令z＝x－，

4则y＝－2sin z.

因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区π3π

间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z).

22ππ3π

∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，

2423π7π

即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

44∴函数y＝2sin?

?π－x?的单调递增区间为

??4?

?2kπ＋3π，2kπ＋7π?(k∈Z).

?44???

反思与感悟.用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如

.

.

果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.

π???ππ?跟踪训练1.函数y＝sin?3x＋?，x∈?－，?的单调递减区间为________________. 6???33?2π??ππ??π

答案.?－，－?，?，?

9??93??3

ππ3π

解析.由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

262π2kπ4π2kπ

得＋≤x≤＋(k∈Z). 9393

?ππ?又x∈?－，?， ?33?

π?2π??ππ???ππ??π

所以函数y＝sin?3x＋?，x∈?－，?的单调递减区间为?－，－?，?，?.

6?9??93???33??3类型二.正、余弦函数单调性的应用

命题角度1.利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°；

?23??17?(2)cos?－π?与cos?－π?.

?5??4?

解.(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°

从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. 2333?23?(2)cos?－π?＝cos π＝cos(4π＋π)＝cos π，

555?5?π?17π?17??cos?－π?＝cos π＝cos?4π＋?＝cos .

4?44?4??π3

∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，

453π?23??17?∴cos π

反思与感悟.用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2.比较下列各组数的大小.

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