人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳（基础）：圆锥曲线第三章 圆锥曲线中的最值、定点、定值

第三章圆锥曲线中的最值、定点、定值

第一节:最值问题 (均值、函数)

求以下式子的最值

m2?8?m2?4 （1）t?m8?m?m?8?m??2222（2）t?m8?3m2?11?3m2?8?m2???3m2?8?m2?? 33（3）t?23mm2?3?2323??1 323m?mm2?1?k2?m212 ??21?k2m2?1?k2?m2?m1?k2?m2（4）t??21?k1?k2m2?1（5）t? 23m?4设m2?1?x，则m2?x2?1

t?xx1??? 2213?x?1??43x?13x?x上述式子可以通过配凑，换元，使用均值不等式得到最值.

k2? ； （6）t?21?k

（7）t?4m2?14m?32? ；

（8）t?2?m2?8?m?644? ；

（9）t?4k4?5k2?14k?4k?142? ；

上述式子求最值可以通过分离常数法实现.

??2

【例1】.已知椭圆??:4+??2=1.过点(??,0)作圆x2?y2?1的切线??交椭圆??于??,??两点.

(1)求椭圆??的焦点坐标和离心率;

(2)将|????|表示为??的函数,并求|????|的最大值.

√2, 2

【解答】解:(1)∵椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为??=2??√2∴{??=2

??2=??2+??2∴b=√2

??24

??22

∴椭圆C的方程为

+=1;

??=??(???1)

(2)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立{??2??2,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0

4+2=1设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=

4??21+2??2,??1??2=

2??2?41+2??2 ∴|MN|=√1+??×√(??1+??2)?4??1??2=

22

2√(1+??2)(4+6??2)1+2??2 ∵A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离为??=

|??|

√1+??

2

1|??|√4+6??2∴△AMN的面积S=|????|??=

21+2??2√10∵△AMN的面积为,

3

∴

|??|√4+6??21+2??2=

√10 3

∴k=±1.

√6??2??2

【例2】.已知椭圆??:2+2=1(??>??>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距

??3??

离为√3.

(1)求椭圆??的方程;

√3,求△??????面积的最大2

(2)设直线??与椭圆??交于??、??两点,坐标原点??到直线??的距离为值.

??√6??2=【解答】解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意{??3∴b=1,∴所求椭圆方程为+??2=1.

3

??=√3(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)当AB⊥x轴时,|????|=√3.

(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.

|??|√32=3(??2+1). 由已知=,得??42√1+??2把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,

3(??2?1)?6????

∴??1+??2=2,??1??2=. 23??+13??+1

∴|AB|2=(1+k2)(x2﹣x1)2

36????2(3??+1)

22

=(1+??)[

2

2?

12(??2?1)3??+1

2]

=

12(??2+1)(3??2+1???2)

(3??2+1)23(??2+1)(9??2+1)

(3??2+1)212??

22

=

=3+

9??+6??+1

4

=3+

1212

(??≠0)≤3+=4. 212×3+69??+2+6

??

√31,即??=±时等号成立.当k=0时,|????|=√3, 23??

当且仅当9??2=

√3√31

综上所述|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值??=2×|????|??????×2=2.

√3??2??2

【例3】.已知点A(0,﹣2),椭圆??:2+2=1(??>??>0)的离心率为,??是椭圆的右焦点,

??2??2√3直线????的斜率为,??为坐标原点.

3

(1)求??的方程;