苏教版高一数学圆的标准方程

4.1.1 圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆

的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情

和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

(x?a)2?(y?b)2?r ①

化简可得：(x?a)?(y?b)?r ②

62224A2M-55-2-4 引导学生自己证明(x?a)?(y?b)?r为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

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3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为A(2,?3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,?7),M2(?5,?1)是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的关系的判断方法： （1）(x0?a)2?(y0?b)2>r，点在圆外 （2）(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上 （3）(x0?a)2?(y0?b)2

例（2）： ?ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,?3),C(2,?8),求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2 可知，要确定圆的标准方

222程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C的圆l:x?y?1?0经过点A(1,1)和B(2,?2),且圆心在l:x?y?1?0上,求圆心为C的圆的标准方程.

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,?2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。 （教师板书解题过程。）

4l2A-5m5-2CB-4-6

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出?ABC外接圆的标

准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的

标准方程.

根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

练习：课本p127第1、3、4题 提炼小结：

1、 圆的标准方程。

2、 点与圆的位置关系的判断方法。

3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本p130习题4.1第2、3、4题