数学思维方法试题1（答案）

浙江师范大学《数学思维方法》考试卷

（2011—2012 学年第 1 学期）

考试形式 闭卷 使用学生 小学教育2010级

考试时间 120 分钟 出卷时间 2011年12月23日

说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一、选择题

1.把任何问题转化为数学问题，再把数学问题转化为代数问题，最后把代数问题转化为方程求解，这种思维模式在历史上称为“万能代换”。尽管这种方法没有最终实现，但在数学发展史上影响深远。提出“万能代换”思想的数学家是___________。

A.笛卡尔； B.费马； C.牛顿； D.欧拉. 答案：A

2.数学中的非逻辑思维主要有___________、直觉思维、灵感思维、数学想象等。 A.形象思维 B.抽象思维 C.数学判断 D.数学推理

答案：A

3.在中国古代数学中，刘徽的割圆术运用了___________的思想方法获得了圆的面积。

A化归 B变形 C逐次渐进 D数学建模 答案：C

4.设x1、x2是方程x?2kx?k?6?0的两个实根，则（x1?1)2?(x2?1)2的最小值是

A.?249 B.8 C.18 D.不存在 4思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：x1?x2?2k,x1x2?k?6

∴

(x1?1)2?(x2?1)2?x1?2x1?1?x2?2x2?13449 422

4k?)? ?（249有的学生一看到4，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思

?性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选

1

出正确答案。

而原方程有两个实根，∴??4K2?4(K?6)?0? K?2或K?3

22（x?1)?(x?1)K?312当时，的最小值是8； 22（x?1)?(x?1)2当K?2时，1的最小值是18。

这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。

此题是形式化系统内的运算操作常犯的错误。只注重形式化规则而忽略它特定的讨论范畴、

真实状况时就可能导致错误。

5.在数学建模时，我们常会用到测试分析法，即当我们对研究对象机理不清楚时，就把研究对象视为黑箱系统，以此来分析并建立模型。在一个黑箱系统中，第一次输入的为1，输出为2，第二次输入为2，输出为5，第三次输入为3，输出为10，则我们可得出的假设模型是___________。

A．an?n2?1； B．an?n ；C.an?n2?1； D. an?2n?1. 答案：C

数学创造性思维的培养应注重那几个方面的问题？ 见课本P.103~104

答案：第一，在培养创造性因素方面，教师要设法引导学生的数学兴趣，并且积极提出问题

来参与数学的教学活动。 第二，在数学知识和方法的储备方面，使学生根据自己的理解主动地掌握数学的知识

和方法。

第三，在数学思维方式方面，由于逻辑思维是数学知识和理论的主要表现形式，因此

应当格外注重非逻辑思维的培养。 第四，在具体创新思维的方面，由于创造性思维方法已经有很多成熟的广泛运用的方

法，所以在数学教学中应当有意识地学习或运用它们，使之与数学的某些具体的问题相结合。

一、国际比赛规定标准羽毛球由16根羽毛组成，质量一般是5克。当羽毛球的质量超过或比标准轻一些，我们称为次品。现有81个羽毛球，其中有1个次品，质量轻一些。借助天天，至少称几次就一定能找到这个次品。分析这一问题解决的思维过程，并针对小学六年数学拓展课，设计教学的主要过程。 答：4次。81（27，27，27）；27（9，9，9）；9（3，3，3，）；3（1，1，1） 二、结合具体实例谈谈《数学思维方法》对中小学数学教与学的意义。 二、证明：圆周角是同弧所对的圆心角之半。

三、在△ABC中，若cn=an+bn(n＞2)，问△ABC为何种三角形？

分析 最明显的是，若c2=a2+b2，则△ABC为直角三角形。但现在题目中的n大于2，所以我们一下难以说出结论来。可以先取一些特殊情况考察。

2

比如，取n=3，a=1，b=2，则c?39?2.08.作出这个三角形的草图，得到一个锐角三角形。观察另外一些特例，发现还是锐角三角形。

进而猜想: 若cn=an+bn(n＞2)，则△ABC为锐角三角形。

证明 在△ABC中，因为cn=an+bn(n＞2)，所以c为△ABC的最大边，为此只需验证C

a2?b2?c2为锐角即可。因为cosC?，问题转化为证明: a2+b2＞c2，而该式等价于

2ab(a2+b2)cn-2＞cn，因此问题又归为证明

(a2+b2)cn-2-cn＞0

把已知式cn=an+bn代入上式左边，得

(a2+b2)cn-2- an- bn= a2(cn-2-an-2)+ b2(cn-2-bn-2) ＞0，从而cosC＞0，C为锐角，即△ABC为锐角三角形。

(此题的解决过程是:取特殊情况实验、观察，作出合情推理，然后再证明。在证明过程中，又多次将问题转化，以达目的。)

计算论证题：用火柴棒按图5-29的方法搭三角形

（1）填写下表： 三角形个数 火柴棒根数 1 2 3 4 5 （2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少要火柴棒？（答案：2n?1）

三、简答题：用RMI方法试证三角形ABC的三条高线共点（要求写出解题思路）（12分）

解：解题思路：

（1） 利用坐标法将几何问题映射为代数问题。（2分） 以BC为x轴，以BC边上的高AD为y轴建立坐标系。（1分）不失一般性，A、B、C三点的坐标分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），依解析几何知识得到三角形ABC三条边所在直线的斜率分别为：kBC=0，kCA=—a/c，kBA=—a/b。（1分） （2） 三条高所在直线的方程分别是： AD：x=0（1分）

BE：cx—ay—bc=0（1分） CF：bx—ay—bc=0（1分）

解方程组，显然三个方程有公共解： x=0，y=—bc/a。（2分）

（3） 由代数结论可获得几何解释，即三角形ABC三条高共点。（2分）

3

yA（0，a)FEC（c，0）BD(0，0）1分）4

（