浙江省2014学年九年级数学竞赛试卷（含答案）

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=

111(4?9)?5??3?9??2?4=15． 222PN?1AB2．

15．解：（1）如图1，连结PN，则PN∥AB，且 A M E B

F P ∴ △ABF∽△NPF，

BFAFAB???2． FPFNPNN （图1） A ∴ BF=2FP． C

（2）如图2，取AF的中点G，连结MG，则

MG∥EF，AG=GF=FN． ∴ S△NEF=

M E B

G F P =

C

112121S△MNG =×S△AMN =××S△ABC 443434N

（图2）

1S． 2416．解：（1）设x1，x2，x3，…，x1007是1，2，3，…，2008中任意取出的1007个数． 首先，将1，2，3，…，2008分成1004对，每对数的和为2009，每对数记作(m，2009－m) ，其中m=1，2，3，…，1004． 因为2008个数取出1007个数后还余1001个数，所以至少有一个数是1001个数之一的数对至多为1001对，

因此至少有3对数，不妨记为(m1，2009?m1)，(m2，2009?m2)，(m3，2009?m3)(m1，m2，m3互不相等)均为x1，x2，x3，…，x1007中的6个数． 其次，将这2008个数中的2006个数(除1004、2008 外)分成1003对，每对数的和为2008，每对数记作(k ，2008－k) ，其中k=1，2，…，1003．2006个数中至少有1005个数被取出，因此2006个数中除去取出的数以外最多有1001个数，这1003对数中，至少有2对数是x1，x2，x3，…，x1007中的4个数，不妨记其中的一对为(k1，2008?k1)． 又在三对数(m1，2009?m1)，(m2，2009?m2)，(m3，2009?m3)，(m1，m2，m3互不相等)中至少存在1对数中的两个数与(k1，2008?k1)中的两个数互不相同，不妨设该对数为(m1，2009?m1)， 于是m1?2009?m1?k1?2008?k1?4017． （2）不成立．当n?1006时，不妨从1，2，…，2008中取出后面的1006个数：

1003 ，1004，…，2008，

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则其中任何四个不同的数之和不小于1003+1004+1005+1006=4018>4017； 当n?1006时，同样从1，2，…，2008中取出后面的n个数，其中任何4数之和大于1003+1004+1005+1006=4018>4017． 所以n?1006时都不成立．

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