浙江省2014学年九年级数学竞赛试卷（含答案）

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参考答案

一、选择题：

1．A． 原方程可化为3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca=0． 其判别式为

△=4（a+b+c）2－4×3（ab+bc+ca） =2[（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2]．

因为a、b、c两两不相等，则△>0，所以，方程必有两个不相等的实根．

2、解：由已知可得m?2m?1，n?2n?1．又(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，所以 (7?a)(3?7)?8 解得a=－9故选C．

3、解：设点A的坐标为（a，a2），点C的坐标为（c，c2）（|c|<|a|），则点B的坐标为（－a，a2），由勾股定理，得AC2?(c?a)2?(c2?a2)2，

22BC2?(c?a)2?(c2?a2)2， AC2?BC2?AB2

所以 (a2?c2)2?a2?c2．由于a?c，所以a2－c2=1，故斜边AB上高h= a2－c2=1

故选B．

4、C 解：连结圆周上12个等分点，得6条直径，以其中任意两条为对角线的四边形即为矩形，共15个矩形．

5．B．如图，过点E作EF∥AD交CD于点F，设AB=x，则 有BD=DF．

所以，DG为△BEF的中位线，则BG=GE． 又∠BAG=∠EAG，所以，AB=AE=x． 得CE=AC－AE=AC－AB=2．

22ACCDCD??． AEDFBDAECEACx??=2． 故DF=，CF=1． DFCFCD2EFCE22??? 而 ADACAE?CEx?2EF2GD22 及，故x=2 006． ???ADAG?GDAG?12008GD 又因EF∥AD，所以 因此，BC=2 007．

6．B 解：在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，则

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△OGC≌△OAB，所以OG=OA=62， ∠AOG=90°，所以△AOG是等腰直角三角形，AG=12，所以AC=16．

7、－1或8． 令

F

B A

O G C

b?c?ac?a?ba?b?c??=k，则 abc b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b， a+b=（k+1）c． 于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c）． 故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c． 所以

E

（第6题）

(a?b)(b?c)(c?a)=－1或8．

abc28、解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则m?43，

3m?xx由△ADG∽△ABC，可得?2， 解得x?(23?3)m

m3m2于是 x2?(23?3)2m2?283?48， 由题意，a?28，b?3，c?48，所以9．?1

2??2(x?1)?3,x?0,2解：y =2(x?1)?3=? 2??2(x?1)?3,x?0.y a?c20??． b3O x 其图象如图，由图象可知，当x = 0时，y最小为 －1． 10、

（第9题）

1 由对称性知，A1B1⊥A2C2，B1C1⊥A2B2，C1A1⊥B2C2， 3即Rt△A1AF，Rt△A2AB，Rt△B1CB，?Rt?△B2CD，Rt△C1ED，Rt△C2EF全等． 故考察Rt△A1AF．

设A1B1=a（a∈N+），AA1=x，则AF=3x，A1F=2x，有x+3x+2x=a．解得x=a．

3?3 故S△A1AF=a323x=（）2． 223?3- 6 -

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则S=

33232

a－3S△A1AF =a2－a．

4444413及a为正整数，m、n为有理数，得m=2,n?2． ?3aamn 由已知S=11．1048 23解：设甲跑完x 条边时，甲、乙两老鼠第一次出现在同一条边上，此时甲走了120x 厘米，

?120(x?1)8??240?120(x?1)?120，?120x?9.2乙走了8?厘米，于是?

120x9.2?8??240?120x?120．?9.2?解得722120?824008?x?8．因x是整数，所以x=8，即经过==104秒时，339.22323甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

12．36 解：20132015的个位数字是7，

m所以可设M?10k?7，其中k是m位正整数，则N?7?10?k．

7(10m?4)由条件N=4M，得7?10?k=4(10k?7)，即k?．

39m当m=5时，k取得最小值17948．所以T=179487，它的各位数字之和为36． 13、解法一：由①－2×②得(b?c)?24(a?1)?0，所以a>－1．

当a>－1时， b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0．

22又当a?b时，由①，②得 c?a?16a?14， ③

2222ac?a2?4a?5 ④

将④两边平方，结合③得a(a?16a?14)?(a?4a?5) 化简得 24a?8a?40a?25?0， 故 (6a?5)(a4?a2?23222225?)， 0解得a??56，或a?1?214．

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51?21所以，a的取值范围为a>－1且a??，a?．

64解法二：因为b?c?2a?16a?14，bc?a?4a?5，

所以(b?c)2?2a2?16a?14?2(a2?4a?5)?4a2?8a?4?4(a?1)2， 所以 b?c??2(a?1)． 又bc?a?4a?5，

所以b，c为一元二次方程x2?2(a?1)x?a2?4a?5?0 ⑤ 的两个不相等实数根，

故??4(a?1)2?4(a2?4a?5)?0，所以a>－1．

当a>－1时， b?c?2a?16a?14=2(a?1)(a?7)?0． 另外，当a?b时，由⑤式有 a2?2(a?1)a?a2?4a?5?0，

222222222a?5?0即 4a?2 或 ?6a?5?0，解得，a?1?214或a??56．

当a?c时，同理可得a??56或a?1?214．

51?21所以，a的取值范围为a>－1且a??，a?

6414、解：（1）由B（0，4）得，c=4． G与x轴的交点A（?b，0）， 2a由条件ac?b，得

bbc?c，所以?=???2，即A（?2，0）． a2a2所以??b?4a,?a?1,

解得?所求二次函数的解析式为y?x2?4x?4．

?4a?2b?4?0.?b?4.

C y （2）设图象L的函数解析式为y=?3x+b，因图象L过点A（?2，0）， 所以b??6，即平移后所得一次函数的解析式为y=?3x?6． 令?3x?6=x?4x?4，解得x1??2，x2??5． 将它们分别代入y=?3x?6，得y1?0，y2?9． 所以图象L与G的另一个交点为C（?5，9）．

如图，过C作CD⊥x轴于D，则S△ABC=S梯形BCDO－S△ACD －S△ABO

2B D A O （第14题）

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