2019年全国各地中考数学试卷分类汇编 专题25 矩形菱形与正方形

矩形菱形与正方形

一、 选择题

1. （·云南省昆明市·4分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论： ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若

=，则3S△EDH=13S△DHC，其中结论正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；

②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°； ③同②证明△EHF≌△DHC即可； ④若

=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角

x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．

形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD， ∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°， ∴△CFG为等腰直角三角形， ∴GF=FC，

∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC， ∴EG=DF，故①正确；

②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，∴△EHF≌△DHC（SAS）， ∴∠HEF=∠HDC，

，

∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确； ③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，

在△EHF和△DHC中，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确； ④∵

=，

，

∴AE=2BE，

∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点， ∴FH=GH，∠FHG=90°，

∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD， 在△EGH和△DFH中，∴△EGH≌△DFH（SAS），

∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°， ∴△EHD为等腰直角三角形，

过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示： 设HM=x，则DM=5x，DH=

2

，

x，CD=6x，

2

2

则S△DHC=×HM×CD=3x，S△EDH=×DH=13x， ∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确； 故选：D．

2．（·山东省东营市·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝2．其中正确的结论有( ) A.4个 B．3个 C．2个 D．1个