高考数学总复习专题讲解26 - 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

高考数学总复习专题讲解

26 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式

[考点要求] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos (α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan (α±β)＝tan α±tan β．

1?tan αtan β2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan2α＝2tan α．

1－tan2α3．辅助角公式

a sinα＋b cos α＝a2＋b2sin (α＋φ)(其中sin φ＝[常用结论] 1．公式的常用变式

tan α±tan β＝tan (α±β)(1?tan αtan β)； 2sin αcos α2tanαsin 2α＝2＝； 22

sinα＋cosα1＋tanαcos2α－sin2α1－tan2αcos2α＝2＝．

cosα＋sin2α1＋tan2αba

，cos φ＝.) a2＋b2a2＋b2

2．降幂公式 sin2

α＝1－cos2α2；

cos2

α＝1＋cos2α2；

sin αcos α＝1

2sin 2α. 3．升幂公式 1＋cos α＝2cos2α

2； 1－cos α＝2sin2α

2； 1＋sin α＝???sin α

2＋cos α2??2?； 1－sin α＝??α

α?2?sin 2－cos 2??.

4．半角正切公式

tan αsin α

1－cos α2＝1＋cos α

＝sin α.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )

(2)公式a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．((3)cos θ＝2cos2θ

2－1＝1－2sin2θ

2.( ) (4)当α是第一象限角时，sin α

1－cos α

2＝2

.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、教材改编

1．已知cos α＝－3α是第三象限角，则cos ??π?4＋α?

5，??为( )

A.2

10 B．－2

10 C.72

10

D．－7210 A [∵cos α＝－3

5，

) α是第三象限角， ∴sin α＝－

4

1－cos2α＝－.

5

22?34??π?

∴cos?4＋α?＝2(cos α－sin α)＝2?－5＋5?

????2

＝10.故选A.]

2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________． 2

2 [sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°

＝sin (270°＋77°)cos (90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° 2＝sin (58°＋77°)＝sin 135°＝2.]

3．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝________． 1

2 [原式＝sin (180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin (72°－42°) 1

＝sin 30°＝2.] 4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________． 3 [∵tan 60°＝tan (20°＋40°)＝

tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°

，

∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，

∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝3.] 11

5．若tan α＝3，tan (α＋β)＝2，则tan β＝________．

11

tan （α＋β）－tan α2－311

[tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝.] 71＋tan （α＋β）tan α1＋1×17

23

考点1 公式的直接应用

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

π

1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈(0，2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) 1A.5 3

C.3

5B．5 25D．5

B [由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α. π

∵α∈(0，2)，∴cos α≠0，

15

∴2sin α＝cos α，∴tan α＝2，∴sin α＝5.故选B.]

3π1

2．已知sin α＝5，α∈(2，π)，tan (π－β)＝2，则tan (α－β)的值为( ) 2

A.－

1111

C.2

2B． 1111D．－2

π31

A [∵α∈(2，π)，∴tan α＝－4，又tan β＝－2， ∴tan (α－β)＝

tan α－tan β1＋tan αtan β

＝

31－4＋2

13

1＋（－2）×（－4）

2＝－.]

11

ππ1π

3．(2019·太原模拟)若α∈(0，2)，且sin (α－6)＝3，则cos (α－3)＝________． 26＋1π1

[由于角α为锐角，且sin (α－66)＝3， π22则cos (α－6)＝3， πππ

则cos (α－3)＝cos [(α－6)－6]