天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准经管类

2012年天津市大学数学竞赛试题参考解答及评分标准（经管类）

一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设limx?01+f(x)sin2x?1?2，则limf(x)=6. 3xx?0e?12. 设函数f(x)连续且不等于0，又xf(x)dx?arcsinx?C，则

3122?(1?x)?C. 3??dx?f(x)3. 半径为R的无盖半球形容器中装满水，然后慢慢地使容器倾斜

?，则流出的水量V=333?R3. 84. 设函数可微f(x)，且f(0)?0,f'(0)?1.又设平面区域D:x2?y2?t2，则

t?0lim?1t3??Df(x2?y2)d??2?. 3f(x)?2，则f''(0)?2

x??1?cosx12x5. 设函数f(x)在点x?0处二阶可导，且lim二. 选择题（本题15分，每小题3分）:

1. 设函数f(x)有连续的导数，且f(0)?1，f'(0)?3，则limf(x)x?0?（D）

(A)1, (B)e, (C) e (D) e

23322. 设函数f(x)在点x=0的一个邻域内有定义，且满足f(x)?x2，则有 （ B ）

(A) f(x) 在点x=0处不一定可导 (B) f(x) 在点x=0处可导，且f'(0)?0 (C) f(x) 在点x=0处可导，且f'(0)?0 (D) f(x)在点x=0处取得极小值

3. 设连续函数y?f(x)在区间??3,?2?和?2,3?上的图形分别是直径为1的上半圆周

和下班圆周，在区间??2,0?和?0,2?上的图形分别是直径为2的下半圆周和上半圆周。如果G(x)??x0f(t)dt，那么G(x)非负的范围是（A ）

(A)整个??3,3? (B)仅为??3,?2?(C)仅为?0,3? (D)仅为??3,?2??0,2? ?0,3?

?4. 设函数f(x)在区间?0,1?上连续，且f(x)?0.记I1???10f(x)dx，I2??2f(sinx)dx，

0I3??4f(tanx)dx，则 （ B ）

0(A) I1?I2?I3 (B) I2?I1?I3 (C) I2?I3?I1 (D) I3?I2?I1

5. 设f(x)在?0,1?有连续的二阶导数，f(0)??1，f'(1)?3，并且满足

则f(1)?（B）

(A)0， (B)1， (C)2， (D)3

?10xf''(x)dx?1，

三. 设an???1?an?1?4n(1?an)。 ?，n=1,2,…，a0?cos?(0????).求极限limn???2?121?cos?1?)2?cos 解：由已知a1?(221?cos1?2)2?co a2?(s?24? cos22?1?cosn?112)2?co? an?(s 4分 22n1?2?2()?因此，lim4(1?an)?lim4(1?cosn)?lim4。 7分

n??n??x??222n2nn??n四. 设函数y?f(x)由方程x?3xy?2y?32?0确定，且f(x)可导，试求f(x)的极

值。

解：方程两边对x求导

3233x2?3y2?6xydydx?6y?0 2分 dxdydyx2?y2x?y??由于x?y?0，解得 （1） dx2y(x?y)2y当x?y?0时，y??x，代入方程：x3?3x3?2x3?32?0解得

x?2，y??2 4分

这时，

dydx?0。（1）式的两边对x求导

x?2d2y(1?y')y?dx2?y'(x?y)2y2?y?xy'2y2 由

d2yy?xy'dx2?x?22y2??1?0 x?2,y??24可知f(x)在x?2处取得极大值，其极大值为f(2)??2 五. 求积分

?dxx?1?x2 解 令x?sint t??????2,??2??，则dx?costdt ?dxx?1?x2??costdtsint?cost ?1?cost2???1??sint?sint?cost??dt ?12t?1112lnsint?cost?C?2arcsinx?2lnx?1?x2?C 关于?costdtsint?cost的另一解法。令A??costdtsintdtsint?cost,B??sint?cost，则

A?B??dt?t?C A?B??cost?sintsint?costdt?lnsint?cost?C

因此，

A?12(t?lnsint?cost)?C

?12arcsinx?12lnx?1?x2?C

7分

3分

7分 ?六. 设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)?1，F(x)f(x)?cos2x，求

解:由题设及F(x)f(x)?cos2x，得

?20 f(x)dx。

12，dF(x)?cos2xdx 2分

2则 F2(x)?F2(0)??x02cos2xdx?sin2x

因F(0)?1，故

F2(x)?sin2x?1?(sinx?cosx)2 解得 F(x)?sinx?cosx

因此，f(x)?F'(x)?cosx?sinx，从而

????240f(x)dx??0(cosx?sinx)dx???2(cosx?sinx)dx

4?? ?(sinx?coxs4)?(xsinx+2?co?s)? 2 2 2 04七. 求积分

?1nn0xlnxdx，其中n为正整数

解：应用分部积分法

?10xnlnnxdx?11n?1?0lnnxdxn?1?1?n?1?xn?1lnnx11n?1n?11??0??0xnlnxxdx????n1nn?11n?1n?1?0xlnxdx??n(n?1)2?0lnxdxn?1

??n??xn?1lnn?1x1(n?1)2?1xn?1(n?1)lnn?2x?1dx??0?0x? ??(?1)2n(n?1)?1(n?1)20xnlnn-2xdx?…… ?(?1)nn!1(n?1)n?0xndx?(?1)nn!(n?1)n+1 4分

7分

2分 4分

7分