高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第5节 对数与对数函数高考AB卷 理

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本

初等函数 第5节 对数与对数函数高考AB卷 理

对数与对数函数

(2013·全国Ⅱ，8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>c>b

D.a>b>c

解析 a＝log36＝log32×3＝log33＋log32＝1＋log32，

b＝log510＝log52×5＝log52＋log55＝1＋log52， c＝log714＝log72×7＝log72＋log77＝1＋log72，

而log23log52>log72，故有a>b>c. 答案 D

对数与对数函数

1.(2015·湖南，5)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A.奇函数，且在(0，1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数 D.偶函数，且在(0，1)上是减函数

解析 易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)2?1＋x?为奇函数，又f(x)＝ln＝ln?－1－，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，

x－1?1－x??1)上是增函数，故选A. 答案 A

2.(2015·陕西，9)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝f?则下列关系式中正确的是( ) A.q＝r＜p C.p＝r＜q

B.q＝r＞p D.p＝r＞q

2

＞ab，

1?a＋b?，

r＝(f(a)＋f(b))，?2?2?

解析 ∵0＜a＜b，∴

a＋b又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，

1

故f?

?a＋b?＞f(ab)，即q＞p.

??2?

11

又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)

22

1

11

＝ln a＋ln b＝ln(ab)2＝f(ab)＝p. 22

故p＝r＜q.选C. 答案 C

3.(2014·福建，4)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )

解析 因为函数y＝logax过点(3，1)，所以1＝loga3，解得a＝3，所以y＝3不可能过点(1，3)，排除A；y＝(－x)＝－x不可能过点(1，1)，排除C；y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1)，排除D.故选B. 答案 B

4.(2014·天津，4)函数f(x)＝log1(x－4)的单调递增区间为( )

2

2

3

3

－xA.(0，＋∞) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)

解析 函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝log1

2

t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝log1t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－

2

2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增.选D. 答案 D

5.(2014·四川，9)已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1).现有下列命题： ①f(－x)＝－f(x)；②f?

?2x2?＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.

??1＋x?

C.①③

D.①②

其中的所有正确命题的序号是( ) A.①②③

B.②③

解析 f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故①正确；因为f(x)＝ln(1＋x)－ln(1

2

2x1＋21＋x2x?1＋x2x?－x)＝ln，又当x∈(－1，1)时，＝2?＝ln2∈(－1，1)，所以f?1－x1＋x2x?1＋x?

1－2

1＋x?1＋x?＝2ln1＋x＝2f(x)，故②正确；当x∈[0，1)时，|f(x)|≥2|x|?f(x)－2x≥0，ln??1－x?1－x?

11令g(x)＝f(x)－2x＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x(x∈[0，1))，因为g′(x)＝＋－

1＋x1－x2x2＝所以g(x)在区间[0，1)上单调递增，g(x)＝f(x)－2x≥g(0)＝0，即f(x)≥2x，2>0，1－x又f(x)与y＝2x都为奇函数，所以|f(x)|≥2|x|成立，故③正确，故选A. 答案 A

5ba6.(2016·浙江，12)已知a＞b＞1.若loga b＋logb a＝，a＝b，则a＝________，

2

2

2

b＝________.

152ba2b解析 设logba＝t，则t＞1，因为t＋＝，解得t＝2，所以a＝b①，因此a＝b?at2＝ab②，解得b＝2，a＝4.联立①②结合b＞1，解得b＝2，a＝4. 答案 4 2

7.(2014·重庆，12)函数f(x)＝log2x·log2

2

(2x)的最小值为________.

1?2111?2

解析 依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)＋log2x＝?log2x＋?－≥－，当

2?424?111

且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－. 2421

答案 －

4

??－x＋6，x≤2，

8.(2015·福建，14)若函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)的值域是[4，

?3＋logax，x＞2?

＋∞)，则实数a的取值范围是________.

??a＞1，

解析 由题意f(x)的图象如图，则?∴1＜a≤2.

?3＋loga2≥4，?

答案 (1，2]

3