2015-2016学年高中数学 2.2.3独立重复实验与二项分布学案 新人教A版选修2-3

2015-2016学年高中数学 2.2.3独立重复实验与二项分布学案 新人

教A版选修2-3

基础梳理

1．所谓独立重复试验，是在相同的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，也叫贝努里试验．

特点：每一次试验的结果只有两种(某事要么发生，要么不发生)，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

2．一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，如果在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)kkn－k＝Cnp(1－p)，k＝0，1，2，?，n．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．

自测自评

1．下列试验中，是独立重复试验的是(C)

(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；

(2)某人射击，击中目标的概率P是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋装有5个白球、3个红球、2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球； (4)口袋装有5个白球、3个红球、2个黑球，从中有放回的抽取5个球，恰好抽出4个白球．

A．(1)、(2)、(3) B．(2)、(3)、(4) C．(2)、(4) D．(3)、(4)

解析：由独立重复试验的概念知(2)、(4)是独立重复试验．故选C.

2．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是(A) A．0.33 B．0.066 C．0.5 D．0.45 解析：由n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式可知这5棵树苗恰好成活4棵的概444

率为C5×0.9×0.1≈0.33，应选A.易错选B，误认为所求概率为0.9×0.1≈0.066.

65

3．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，

81

1

则事件A在一次试验中发生的概率是(A)

1252A. B. C. D. 3563

分不清超几何分布和二项分布致错

【典例】 根据我国相关法规规定，食品的含汞量不得超过1.00 ppm，沿海某市对一种贝类海鲜产品进行抽样检查，抽出样本20个，测得含汞量(单位：ppm)数据如下表所示： 分组 频数 (0， 0．25] 6 (0.25， 0．50] 4 (0.50， 0．75] 3 (0.75， 1] 2 (1， 1．25] 2 (1.25， 1．50] 3 (1)若从这20个产品中随机任取3个，求恰有一个含汞量超标的概率； (2)以此20个产品的样本数据来估计这批贝类海鲜产品的总体，若从这批数量很大的贝类海鲜产品中任选3个，记ξ表示抽到的产品含汞量超标的个数，求ξ的分布列．

解析：(1)记“从这20个产品中随机任取3个，恰有一个含汞量超标”为事件A，则所C5C1535

求概率为P(A)＝3＝. C2076

51

(2)依题意，这批贝类海鲜产品中含有汞量超标的概率为P＝＝.

204所有ξ的取值为0，1，2，3，

12

?1?P(ξ＝0)＝C???4?

0313

03327??＝， ?4?64??1

2

?1??3?27

P(ξ＝1)＝C????＝，

?4??4?64?1?P(ξ＝2)＝C???4?

23

2319??＝， ?4?64??3301??＝， ?4?64??

?1?P(ξ＝3)＝C???4?

33

故ξ的分布列如下：

ξ 0 27 641 27 642 9 643 1 64P 【易错剖析】本题第(2)是二项分布问题，求解时，易作为超几何分布问题处理，造成错解．由二项分布和超几何分布的定义可知，二项分布与超几何分布的区别在于是“有放回抽样”还是“无放回抽样”：

①从含有M件次品的N件产品中，无放回的抽取n件，恰好有X件次品数，则X服从超CMCN－M几何分布P(X＝m)＝n.

CN

2

mn－m②从含有M件次品的N件产品中，有放回的抽取n次，恰好有X件次品数，则X服从

kkn－k二项分布P(X＝k)＝CnP(1－p).

基础巩固

1．设在一次试验中A出现的概率为P，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为Pk，则(B)

A．P1＋P2＋?＋Pn＝1 B．P0＋P1＋P2＋?＋Pn＝1 C．P0＋P1＋P2＋?＋Pn＝0 D．P1＋P2＋?＋Pn－1＝1

2．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为(B)

3311A. B. C. D. 4834

1

解析：抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为

2

?1?13P＝C??×＝.

?2?28

23

2

4

3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概

5率是(B)

A.C.

1696

B. 625625192256 D. 625625

2

4

?4?解析：P＝C???5?

21296??＝. ?5?625??

4．一袋中装有5个红球，3个白球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现8次为止，记ξ为取球的次数，则P(ξ＝10)＝________(写出表达式即可)．

解析：依题意知，ξ＝10表示“取得红球的事件”，在前9次恰有7次取得红球，第

?5?10次取得红球，故P(ξ＝10)＝C???8?

79

732582??×＝C7?5??3?. ?8?89?8??8???????

?5?答案：C???8?

79

832?? ?8???

能力提升

5．(2013·福州高二检测)甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为

3

3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(A)

2?3?22?3?A．C??× B．C3??× ?5?5?5?3

23

32

1?3?23?2?C．C??× D．C4??× ?5?5?3?3

34

33

32

解析：依题意可知，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若甲打完4局才胜，则甲在

55

?3?232?3?2

前3局中胜两场，而第4局必胜．所以P＝C??××＝C3??×.故选A.

?5?55?5?5

23

23

6．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(A)

A．[0.4，1) B．(0，0.4] C．[0.6，1) D．(0，0.6] 解析：由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)， 13222

∴C4p(1－p)≤C4p(1－p)， ∴2(1－p)≤3p，

∴p≥0.4，又0≤p<1， ∴0.4≤p<1.

7．(2013·广东珠海高二下学期期末)姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是____________．

解析：设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3，0.9)，所以他在3次罚

22

球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C30.9×(1－0.9)＝0.243.

答案：0.243

8．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中1

选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率

2是________．

解析：设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2－－

名学生选做同一道题的事件为“AB＋AB”，且事件A、B相互独立．

11?1??1?1－－－－

所以P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋?1－?×?1－?＝.

22?2??2?21答案： 2

9．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇1

到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.

3

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．

解析：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，

4